Una simple pregunta sobre la aplicación de la regla de Bayes

Question

He aplicado la regla de Bayes del siguiente modo:

$$ P\left(\sum_{i=1}^N X_i>y|x<\sum_{i=1}^{N-1} X_i<y\right)=\frac{P\left(x<\sum_{i=1}^{N-1} X_i<y|\sum_{i=1}^N X_i>y\right)P\left(\sum_{i=1}^N X_i>y\right)}{P\left(x<\sum_{i=1}^{N-1} X_i<y\right)} $$

Aquí $X$ es una variable aleatoria, $x<0$ y $y>0$ son algunos números reales. Mi intención era facilitar el cálculo del lado izquierdo porque en su forma actual necesito hacer una convolución de la densidad de $\sum_{i=1}^{N-1} X_i$ con $X$ en la gama $[x,y]$ .

Los dos términos de la izquierda, a saber $P(\sum_{i=1}^N X_i>y)$ y, $P(x<\sum_{i=1}^{N-1} X_i<y)$ son fáciles de manejar porque la convolución es la regular con los límites en $[-\infty,\infty]$ .

Estaba pensando que el tercer término $P(x<\sum_{i=1}^{N-1} X_i<y|\sum_{i=1}^N X_i>y)$ sería igual a $1$ . Estaba pensando que si la suma de $N$ términos se sabía que era mayor que $y$ la suma de $N-1$ términos tenían que estar en $[x,y]$ ya que, de lo contrario, el proceso terminaría en el punto $(N-1)$ ª etapa. Me equivoqué porque la formulación no tiene nada que ver con el procedimiento de terminación del proceso.

Mi pregunta Cómo calcular $P(x<\sum_{i=1}^{N-1} X_i<y|\sum_{i=1}^N X_i>y)$ ¿es, después de todo, más fácil calcular el lado derecho (tras aplicar Bayes al lado izquierdo)?

Gracias.

Answer 1

Entonces... se consideran dos variables aleatorias independientes $U$ y $V$ y la idea de calcular $$(\ast)=P[U+V\gt y\mid x\lt U\lt y] $$ sería ver si $P[x\lt U\lt y\mid U+V\gt y]$ no sería más sencillo. Dudo mucho que lo sea.

Para calcular $(\ast)$ cuando $U$ es densitable, consideremos la PDF $f_U$ de $U$ la FCD $F_U$ de $U$ y la FCD complementaria $\bar F_V$ de $V$ entonces $$ (\ast)=\frac{\displaystyle\int_x^y\bar F_V(y-u)f_U(u)\mathrm du}{\displaystyle\int_x^yf_U(u)\mathrm du}=\frac1{F_U(y)-F_U(x)}\int_x^y\bar F_V(y-u)f_U(u)\mathrm du. $$