Probar la imagen previa de $[0,1]$ es secuencialmente compacta bajo esta función continua?

Question

Me dan que para demostrar que $f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R$ es continua y que $\forall u\in \mathbb R^n,$ $f(u)\geq \|u\|.$ Entonces se supone que debo demostrar que $f^{-1}([0,1])$ es secuencialmente compacta. En primer lugar, sabemos que $[0,1]$ es secuencialmente compacta. Pero no estoy seguro de cómo incorporar el hecho de que $\forall u\in \mathbb R^n,$ $f(u)\geq \|u\|.$ ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Si $f(u) \in [0,1]$ entonces sabes que $\|u\| \le 1$ . Desde $f$ es continua, se sabe que $f^{-1}([0,1])$ está cerrado.

Ahora usa el teorema de Bolzano Weierstrass.