Sea $A,B,C$ ser iid Unif(0,1). Sea $X,Y$ sean variables aleatorias:
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$X=(A-B)1_{A-B>0}+(1+(A-B))1_{A-B<0}$
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$Y=(C-B)1_{C-B>0}+(1+(C-B))1_{C-B<0}$
Puedo demostrar que $X,Y$ son id Unif(0,1). Mi problema es mostrar que son iid (es decir, me falta el independiente).
(No se me permite utilizar la teoría de la medida aquí, pero en realidad no veo cómo lo haría de todos modos ya que ambos $X$ y $Y$ tienen un ' $B$ en la fórmula).
Vale, sólo cosas de probabilidad elemental. Calculemos la CDF conjunta y esperemos que sea uniforme en la unidad cuadrada. Esto es
$$P(X \le x, Y \le y) = 1_{x,y > 1} + x1_{0 < x < 1, y > 1} + y1_{0 < y < 1, x > 1} + xy1_{0 < x,y < 1}$$
Creo que tengo todo excepto el $xy1_{0 < x,y < 1}$ parte.
Parece que tenemos que tomar casos
- Caso 1: $ X=A-B, Y=C-B$
- Caso 2: $X=(A-B)+1, Y=C-B$
- Caso 3: $X=A-B, Y=(C-B)+1$
- Caso 4: $X=(A-B)+1, Y=(C-B)+1$
Bien, intentemos el caso 1. ( Actualización: Los límites están mal (aunque creo que las preguntas sobre las etiquetas siguen siendo válidas).
$$P(0 < X = A - B \le x, 0 < Y = C - B \le y)$$
Lo que creo que es probabilidad condicional pero de 2 variables aleatorias condicionadas a 1. En lugar de la habitual $$P(z_1 < Z < z_2 | B=b) := \int_{z_1}^{z_2} f_{Z|B=b}(z) dz,$$ avec $f_{Z|B=b}(z)=\frac{f_{Z,B}(z,b)}{f_B(b)},$ parece que tendremos como $$P(z_1 < Z < z_2, u_1 < U < u_2 | B=b) := \int_{u_1}^{u_2} \int_{z_1}^{z_2} f_{(Z,U)|B=b}(z,u) dz du,$$ avec $f_{(Z,U)|B=b}(z,u) = $ Creo, $\frac{f_{Z,U,B}(z,b,u)}{f_B(b)}$
- Nota: si alguna de las definiciones ':=' es en realidad pas definiciones, entonces tendrás que explicarme el condicionamiento a un suceso de probabilidad cero, por favor.
Así que esto es lo que creo que sigue:
$$P(0 < X = A - B \le x, 0 < Y = C - B \le y) = P(B < A \le x+B, B < C \le y+B)$$
$$ = \int_{b=0}^{b=1} P(B < A \le x+B, B < C \le y+B | B=b) f_B(b) db \tag{1?}$$
$$ = \int_{b=0}^{b=1} P(b < A \le x+b, b < C \le y+b | B=b) f_B(b) db \tag{2????}$$
$$ = \int_{b=0}^{b=1} \int_{b}^{x+b} \int_{b}^{y+b} f_{(A,C)|B=b}(a,c) dc da f_B(b) db \tag{3 part 1?}$$
$$ = \int_{b=0}^{b=1} \int_{b}^{x+b} \int_{b}^{y+b} \frac{f_{(A,C,B)}(a,c,b)}{f_B(b)} dc da f_B(b) db \tag{3 part 2?}$$
$$ \text{[details omitted because actually the bounds are wrong]}$$
$$ \text{[details omitted because actually the bounds are wrong]}$$
$$ \text{[details omitted because actually the bounds are wrong]}$$
$$ = xy $$
Y entonces asumiendo que todo lo anterior es correcto y todas las partes con signos de interrogación están justificadas, repite para los otros 3 casos y parece que tenemos $xy$ en cada uno. ¿Se supone que estos casos se suman y por lo que me estoy perdiendo $\frac14$ ? ¿O qué?
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Caso 2: $b-1<A<x+b-1, b<C<y+b$ así que de nuevo $xy$
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Caso 3: $b<A<x+b, b-1<C<y+b-1$ así que de nuevo $xy$
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Caso 4: $b-1<A<x+b-1, b-1<C<y+b-1$ así que de nuevo $xy$
Sobre los signos de interrogación:
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Para $(1?)$ , creo que la regla es como para un evento $E$ y variable aleatoria continua $B$ tenemos $P(E)=\int_{\mathbb R} P(E|B=b) f_B(b) db$ . ¿Es correcto?
- Oh espera un minuto wiki dice que no podemos hacerlo. Lo que entiendo es que no podemos hacerlo por arbitrario $E$ pero podemos hacerlo cuando (pero no sólo cuando, supongo) $E=\{Y \in \ \text{some interval or Borel set I guess}\}$ para una variable aleatoria continua $Y$ s.t. the joint pdf $f_{X,Y}$ ¿está bien definido? (He olvidado si 2 variables aleatorias continuas cualesquiera tienen necesariamente una pdf conjunta bien definida).
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Para $(2????)$ Creo que estamos haciendo algo como para eventos $E$ , $H$ y $G$ y variable aleatoria continua $B$ tenemos $P(E|H)=P(E \cap H|H)$ pero $P(G|H)$ sólo se define para $P(H)>0$ . ¿Qué se está haciendo aquí cuando técnicamente $P(H)=0$ ? Quiero decir, por supuesto, en el 1er lugar cuando decimos como ' $P(E|B=b)$ ', esto es notacional, no estamos realmente condicionando en el $P$ -evento nulo $\{B=b\}$ . Pero sigo sin entender exactamente qué se está haciendo aquí.
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Para $(3 \ \text{parts 1 and 2})$ En realidad sólo estoy adivinando, ¿cuál es la definición de fdc conjunta condicional de 2 variables aleatorias dada una 3ª? Y por favor proporcione una referencia .
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Wiki sólo dice $F_{(X,Y)|Z=z}(x,y):=P(X \le x, Y \le y|Z=z)$ pero no acaba de definir $P(X \le x, Y \le y|Z=z)$ .
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Para sólo 1 variable aleatoria continua condicionada a 1 variable aleatoria continua, es $P(X \le x, |Z=z) := \int_{-\infty}^{x} f_{X|Z=z}(t) dt$ donde $f_{X|Z=z}(t) := \frac{f_{(X,Z)}(x,z)}{f_{Z}(z)}$ .
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Para 2 variables aleatorias continuas condicionadas a 1 variable aleatoria continua, creo que es $P(X \le x, Y \le y|Z=z) := \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f_{(X,Y)|Z=z}(t,u) du dt$ pero entonces...
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¿Qué es $f_{(X,Y)|Z=z}(t,u)$ ? (Supongo que hacemos como la probabilidad elemental: definir el pdf antes que el cdf...) Según este sitio (ver problemas 1 y 16), es $f_{(X,Y)|Z=z}(t,u): = \frac{f_{(X,Y,Z)}(t,u,z)}{f_Z(z)}$ . Así que supongo que tengo razón en lo de la unión cdf/pdf. Sólo espero una referencia por favor.
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