Si A = B, entonces B = A... No Siempre es Cierto? Definición de "="

Question

Un amigo y yo recientemente se metió en un tonto argumento donde he escrito A = B entonces B = A. afirmó que esto no era siempre la verdad. Después de pedir un ejemplo dijo

Jacuzzi = Hot Tub
Hot Tub ≠ Jacuzzi

Que significa todo el Jacuzzi son tinas de agua caliente, pero no todas las Bañeras de hidromasaje Jacuzzi.

La comprensión de que no somos completamente en la misma página he tratado de describir la diferencia entre las definiciones de uso de la '=' signo, pero fracasó.

En matemáticas, lo que tiene que ser verdaderas para que el signo "=" para aplicar?

Answer 1

Bien, si usted está hablando acerca de dos conjuntos, a continuación, se define la igualdad de $A = B$ $\iff A \subseteq B$ y $B \subseteq A$. Su amigo un mal uso a la idea de la igualdad en el ejemplo:

$$\{y : y \text{ is Jacuzzi}\} \subseteq \{x : x \text{ is Hot Tub}\}$$ pero $$\{x : x \text{ is Hot Tub}\} \not \subseteq \{y : y \text{ is Jacuzzi}\}.$$

Por lo tanto $$\{x : x \text{ is Hot Tub}\} \not = \{y : y \text{ is Jacuzzi}\}.$$

Tenga en cuenta que cuando él dijo:

todos Jacuzzi son tinas de agua caliente, pero no todas las Bañeras de hidromasaje Jacuzzi.

él estaba diciendo que para todos los Jacuzzis $a \in \{y : y \text{ is Jacuzzi}\}$, existe una bañera de hidromasaje $b \in \{x : x \text{ is Hot Tub}\}$ tal que $a = b$; en otras palabras, por cada Jacuzzi, existe una bañera de hidromasaje que es igual a ella. Sin embargo, hay bañeras de hidromasaje que no tienen jacuzzis es igual a ellos. Tenga cuidado para diferenciar si usted está hablando acerca de dos elementos de un conjunto en igualdad de condiciones, o los conjuntos de sí mismos en igualdad de condiciones.

En este ejemplo, podría definir la igualdad entre elementos como los elementos que tienen el mismo código de barras en una tienda.

Answer 2

Las relaciones de equivalencia son simétricas por lo que siempre es cierto.

Su amigo el ejemplo de inclusión, por lo que él estaba hablando acerca de $\subseteq$

Answer 3

La notación en la mayoría de estas respuestas es un poco pesado teniendo en cuenta el público objetivo (el op y su amigo, que está teniendo este argumento, en primer lugar).

OP, estás en lo correcto. La expresión matemática $a=b$ se puede leer hacia delante o hacia atrás, no importa lo $a$ o $b$. Asimismo, puede invertir el orden de su escritura, para $b=a$ si te gusta. Lo que se dice por esta expresión matemática es que $a$ $b$ son etiquetas diferentes para la misma cosa. Por ejemplo, usted probablemente esté de acuerdo en que la ecuación de $2+2 = 4$ es cierto. Probablemente estará de acuerdo en que los lados izquierdo y derecho de esta ecuación, a pesar de verse diferentes el uno del otro, se refieren a la misma cosa. Ambos se refieren a $4$!

Tu amigo está haciendo un muy natural y común error. Él es la traducción (casi!) idéntico enunciados en inglés matemáticas oraciones, y encontrar que su razonamiento acerca de los cambios en el orden de la igualdad es incorrecta. Es fácil de hacer!

Considere los siguientes enunciados en inglés.

• Mi madre es Jane Smith.
• Mi madre tiene hambre.

Es natural pensar que estos dos van a traducir en la matemática de las penas (ecuaciones):

• Mi madre = Jane Smith
• Mi madre = hambre

La primera es válida, pero la segunda es absolutamente no! La segunda frase sugiere algunas cosas extrañas a lo largo de las líneas que mi madre es el concepto de hambre a sí mismo. La cosa a destacar es que el significado de 'se' en la primera y segunda frases en inglés, aunque similar, no es el mismo.

PS - esta es la razón por la que usted debe temblar cada vez que te ve "mente = soplado" por escrito. Realmente sería más apropiado decir: "la mente: soplado".

Answer 4

Tan lejos como las matemáticas, "=" significa esencialmente "es", que son el mismo hacia delante y hacia atrás. Podemos cambiar de lugares: $a=b, b=a$ y que todos los es esencialmente necesario.

Su amigo se refiere a ⊂, que es muy diferente al de $=$. ⊂ significa un subconjunto. Así, una bañera de hidromasaje es un subconjunto de la bañera de hidromasaje, sin embargo la totalidad de la bañera de hidromasaje no está en la bañera de hidromasaje conjunto.

$=$, cuando se refiere a los conjuntos, significa que cada uno de los elementos de un conjunto están contenidas en el otro conjunto, y no tienen elementos adicionales.

Por ejemplo: supongamos $A = (1,2,3,4,5,6)$ $B = (1,3,5)$ Este juegos son completamente diferentes, sin embargo set $B$ existe en $A$, pero $A$ no existe en $B$. Por lo tanto $A \not = B$. Y para que el signo de igual para el trabajo, $A ⊂ B$ $B ⊂ A$

Answer 5

Cuando usted escribe

$$\textrm{'Jacuzzi'} = \textrm{'jacuzzi'}$$

ya una declaración incorrecta, porque ellos no son puros idénticos. Usted debe escribir algo como

$$\textrm{'Jacuzzi'} := \textrm{'jacuzzi'}$$

Un $\textrm{'Jacuzzi'}$ está "definido" como un $\textrm{'Hot Tub'}$

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Creo que de 'caballo' y 'animal'

Podemos definir un caballo como un animal (incluyendo todas las otras propiedades), así

$$\textrm{'Caballo'} := \textrm{'Animal'}$$