¿Qué novedades presenta el Modelo de Heisenberg con respecto al Modelo de Ising?

Question

Tanto el modelo de Ising como el de Heisenberg describen redes de espín con interacción en los primeros vecinos. El Hamiltoniano en cada caso es bastante similar, a pesar del hecho de tratar los espines como variables de Ising (1 o -1) o como operadores cuánticos. En el caso Ising es

$$H_\textrm{Ising} = -~J \sum_{\langle i\ j\rangle} s^z_{i}\ s^z_{j}$$

donde J es la constante de acoplamiento ( $J>0$ para el ferromagneto y $J<0$ para antiferromagnético), $\langle i\ j\rangle$ representa la suma de los primeros vecinos y $s^z$ es el giro en dirección z. Por otro lado, el modelo de Heisenberg es

$$H_\textrm{Heisenberg} = -~J \sum_{\langle i\ j\rangle} \hat{S}_{i} \cdot \hat{S}_{j}$$

donde la única diferencia radica en que los giros son operadores. (En ambos casos he quitado la interacción con un campo externo para simplificar)

Mi pregunta es: ¿Qué nuevos fenómenos aporta tratar los giros como operadores? Veo que $\hat{S}_{i}\ .\ \hat{S}_{j}$ tiene en cuenta el giro en todas las direcciones y no sólo en z, pero no veo la implicación física de eso.

Answer 1

Como se trata de una pregunta en forma de lista, permítanme enumerar algunas cosas (sin mucha discusión - siéntase libre de hacer preguntas específicas sobre puntos individuales). Cada punto menciona lo que tiene el modelo de Heisenberg (HM) frente al modelo de Ising (IM).

• simetría continua frente a simetría discreta

• como consecuencia: excitaciones sin ranura siempre que se rompa la simetría (es decir, en todos los casos excepto el antiferromagneto 1D -- en ese caso, sin embargo, hay modos sin ranura debido al teorema de Lieb-Schultz-Mattis).

• como consecuencia de ello: no hay ruptura espontánea de simetría en una y dos dimensiones a temperatura finita (a diferencia del HAFM 2D), este es el teorema de Mermin-Wagner

• términos no conmutados: Los estados propios no suelen tener una forma simple (a diferencia del MI, que tiene términos conmutativos).

• el Hamiltoniano IM tiene valores propios enteros (tiempos $J$ ), mientras que no podemos caracterizar fácilmente los valores propios del HM

Algunas advertencias, sin embargo:

• Algunas de estas propiedades se deben a la simetría continua frente a la discreta, y no a la clásica frente a la cuántica.

• algunas de las propiedades se mantienen debido a la simetría conmutada frente a la no conmutada, en lugar de a la simetría discreta frente a la continua

• algunas de estas propiedades sólo son válidas para entramados (infinitos), otras ya a nivel de unos pocos espines

Answer 2

Una de las principales diferencias es que el modelo de Ising se encuentra en un discreto simetría (la $Z_2$ simetría) mientras que el modelo de Heisenberg se encuentra en una continuo uno (simetría rotacional). Afectará a las transiciones de fase que experimenten estos modelos.

En particular, debido a la Mermin-Wagner teorema, no puede haber transición de fase a temperatura finita del modelo de Heisenberg en $d=2$ (dejando aparte el caso muy especial de la transición BKT).

Este no es el caso del modelo de Ising que experimenta una transición de fase a temperatura finita desde un alto $T$ desordenado a un estado $T$ estado ordenado en $d=2$ (el solución exacta ha sido calculada incluso por Onsager y posteriormente por otros).

Probablemente haya mucho más que este caso en particular, siéntete libre de editar mi respuesta si te apetece añadir algo.