Tienes razón. Esto se deduce del hecho de que $U(N)$ es difeomorfo a $S^1\times SU(N)$ . Para verlo, considere el mapa $f : U(N) \to S^1\times SU(N)$ dada por $A \mapsto (\det A, \operatorname{diag}((\det A)^{-1}, 1, \dots, 1)A)$ . Se trata de un mapa suave con inversa suave dada por $(z, B) \mapsto \operatorname{diag}(z, 1, \dots, 1)B$ . Nótese, sin embargo, que los dos grupos no son isomorfos (tienen centros diferentes), por lo que no son isomorfos como grupos de Lie.
En $SU(N)$ es simplemente conexo, vemos que
$$\pi_1(U(N)) = \pi_1(S^1\times SU(N)) = \pi_1(S^1)\oplus\pi_1(SU(N)) = \mathbb{Z}$$
y para $m \geq 2$ ,
$$\pi_m(U(N)) = \pi_m(S^1\times SU(N)) = \pi_m(S^1)\oplus\pi_m(SU(N)) = \pi_m(SU(N)).$$
En cuanto a su petición relativa a una tabla de los grupos de homotopía de $SU(N)$ los grupos $\pi_m(SU(N))$ para $1 \leq m \leq 15$ y $1 \leq N \leq 8$ figuran en el apéndice A, sección 6, parte VII de la Diccionario enciclopédico de matemáticas . Esto no cubre todos los casos que pedías en el comentario de abajo, pero los que faltan se deducen de la periodicidad compleja de Bott.
Para completar, aquí está la tabla que pidió.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & \pi_1 & \pi_2 & \pi_3 & \pi_4 & \pi_5 & \pi_6 & \pi_7 & \pi_8 & \pi_9 & \pi_{10} & \pi_{11} & \pi_{12}\\ \hline SU(1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline SU(2) & 0 & 0 & \mathbb{Z} & \mathbb{Z}_2 & \mathbb{Z}_2 & \mathbb{Z}_{12} & \mathbb{Z}_2 & \mathbb{Z}_2 & \mathbb{Z}_3 & \mathbb{Z}_{15} & \mathbb{Z}_2 & \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2 \\ \hline SU(3) & 0 & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & \mathbb{Z}_6 & 0 & \mathbb{Z}_{12} & \mathbb{Z}_3 & \mathbb{Z}_{30} & \mathbb{Z}_4 & \mathbb{Z}_{60} \\ \hline SU(4) & 0 & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & \mathbb{Z}_{24} & \mathbb{Z}_2 & \mathbb{Z}_{120}\oplus\mathbb{Z}_2 & \mathbb{Z}_4 & \mathbb{Z}_{60} \\ \hline SU(5) & 0 & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & \mathbb{Z}_{120} & 0 & \mathbb{Z}_{360}\\ \hline SU(6) & 0 & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & \mathbb{Z}_{720}\\ \hline SU(7) & 0 & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0\\ \hline SU(8) & 0 & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0\\ \hline SU(9) & 0 & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0\\ \hline SU(10) & 0 & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} & 0\\ \hline \end{array}
