La cuestión se reduce a una pregunta acerca de las poleas de los conjuntos, así que me limitaré a trabajar con esas personas (en lugar de los módulos o lo que sea).
El punto es que tenemos el siguiente diagrama conmutativo de derecho adjoint functors,
$$\requieren{AMScd}
\begin{CD}
\mathbf{Sh}(X) @>>> \mathbf{Sh}(Y) \\
@VVV @VVV \\
\mathbf{Psh}(X) @>>> \mathbf{Psh}(Y)
\end{CD}$$
y usted se está preguntando lo que sucede cuando usted toma la izquierda adjoints de sólo las flechas verticales. Bueno, en ese caso, tenemos un canónica de la transformación natural como abajo,
$$\begin{CD}
\mathbf{Sh}(X) @>>> \mathbf{Sh}(Y) \\
@AAA \Uparrow @AAA \\
\mathbf{Psh}(X) @>>> \mathbf{Psh}(Y)
\end{CD}$$
cuyo componente en un presheaf $\mathscr{F}$ $X$ es el de morfismos $a f_* \mathscr{F} \to f_* a \mathscr{F}$ inducida por el universal propiedad de $a f_* \mathscr{F}$ que se aplica a la imagen directa de la universal de morfismos $\mathscr{F} \to a \mathscr{F}$. En particular, $a f_* \mathscr{F} \to f_* a \mathscr{F}$ es automáticamente un isomorfismo si $\mathscr{F}$ es una gavilla en $X$, como era de esperar.
Ahora, considere la posibilidad de un tamiz $R$$X$, es decir, una recopilación de abrir los subespacios de $X$ que es hacia abajo-cerrado, es decir, si $U' \subseteq U$$U \in R$$U' \in \mathfrak{U}$. Deje $\hat{U} = \bigcup_{U \in R} U$. Podemos pensar de $R$ como presheaf en $X$: $R (U) = 1$ si $U \in R$ $R (U) = \emptyset$ lo contrario. El sheafification de $R$ es fácil de calcular: es la gavilla $a R$ tal que $(a R) (U) = 1$ si $U \subseteq \hat{U}$ $(a R) (U) = \emptyset$ lo contrario. La imagen directa $f_* R$ es también un tamiz, es decir, la colección de todos los subespacios $V \subseteq Y$ tal que $f^{-1} V \in R$. Deje $\hat{V} = \bigcup_{V \in f_* R} V$.
Observe que $f^{-1} \hat{V} = \bigcup_{V \in f_* R} f^{-1} V \subseteq \bigcup_{U \in R} U = \hat{U}$, lo $a f_* R \to f_* a R$ es un isomorfismo si y sólo si se satisface la condición:
- Para cada subespacio abierto $V \subseteq Y$, $f^{-1} V \subseteq \hat{U}$ si y sólo si $V \subseteq \hat{V}$.
La citada condición de ser satisfechos por todos los tamices $R$ $X$ es algo así como la topología de $X$ siendo inducida por la topología de $Y$, pero no es realmente el mismo. Ciertamente, si $f : X \to Y$ es la inclusión de un subespacio (no necesariamente abiertas o cerradas), $a f_* R \to f_* a R$ es un isomorfismo para todos los tamices $R$. Esto también sucede si $X$ es el espectro de un discreto anillo de valoración y $Y$ es el punto, aunque la topología de $X$ no es inducida por la topología de $Y$ en este caso. Y, por ejemplo, si $f : X \to Y$ es el codiagonal/fold mapa de $Y \amalg Y \to Y$, entonces uno puede encontrar fácilmente un tamiz $R$ tal que $a f_* R \to f_* a R$ no es un isomorfismo.
Aún no hemos realmente se abordó el caso general de una presheaf en lugar de un tamiz. Las cosas son más complicadas de aquí, pero lo que es cierto es que si $f : X \to Y$ es la inclusión de un abrir subespacio, a continuación, $a f_* \mathscr{F} \to f_* a \mathscr{F}$ siempre es un isomorfismo – esto es más o menos obvio. Por otro lado, las cosas malas pueden suceder si $f : X \to Y$ es la inclusión de un no-abrir el subespacio: por ejemplo, si $f : X \to Y$ es la inclusión de un punto y $\mathscr{F}$ es una constante presheaf en $X$, $a f_* \mathscr{F}$ es el sheafification de una constante presheaf en $Y$ mientras $f_* a \mathscr{F}$ es un rascacielos de la gavilla.
