Teorema de Slutsky para el espacio infinito

Question

Supongamos que tenemos una secuencia de elementos aleatorios $X_{n}$ y $Y_{n}$, tomando valores, por ejemplo, en el espacio $\ell_{2}$. Supongamos que $$ X_{n}\overset{d}{\to} X $$ y $$ Y_{n}\overset{p}{\to} c \in \ell_{2}, $$ es decir, $c$ es algún vector constante posiblemente infinito en $\ell_{2}$.

¿Es correcto lo siguiente? $$ X_{n} \cdot Y_{n}\overset{d}{\to} X \cdot c , $$ donde multiplicamos componente por componente.

Sé que funciona para vectores y matrices de dimensión finita, pero no puedo encontrar una declaración más general de este resultado.

Además, ¿sería cierto si, en su lugar, consideramos $$ \overset{d}{\to} < X, c >, $$ donde $< , >$ es el producto interno en $\ell_{2}$.

Estoy tratando de solucionarlo considerando el espacio de producto $\ell_{2}\times \ell_{2}$ y luego considerando la convergencia en el espacio de producto y luego el teorema de mapeo continuo.

Answer 1

Sí, ambas son verdaderas. Tal como en el caso del teorema de Slutsky para variables aleatorias escalares (ver aquí por ejemplo), se puede mostrar que $(X_n,Y_n)\overset{d}{\to} (X,c)$. Además, las aplicaciones $\ell_2\times \ell_2\to \ell_2,\,(x,y)\mapsto x\cdot y$ y $\ell_2\times \ell_2\to \mathbb{K},\,(x,y)\mapsto \langle x,y\rangle$ son continuas. Ahora el resultado se sigue del teorema de mapeo continuo (que es bastante trivial en este caso).