Polinomio mínimo de raíz $\zeta_n$ sobre campo finito $\mathbb{F}_p$

Question

Sea $n>1$ un número y $\zeta_n$ la $n$ -th raíz. $p$ ser un primo. Busco estrategias y teoremas que permitan calcular el poplynomio mínimo. $m_{\zeta_n}$ de $\zeta_n$ en $\mathbb{F}_p$ . (el caso $n=p-1$ es aburrido).

en primer lugar porque el polinomio ciclotómico $\Phi_n(X)$ es el polinomio mínimo de $\zeta_n$ en $\mathbb{Q}$ con coeficientes en $\mathbb{Z}$ aplicamos la reducción modulo $p$ y ver que $m_{\zeta_n}$ divide $\overline{\Phi_n(X)}$ con $\overline{\Phi_n(X)}$ la imagen de $\Phi_n(X)$ bajo mapa de reducción $\mathbb{Z}[X] \to \mathbb{F}_p[X]$ .

¿existen algunos criterios de irriducibilidad? por ejemplo he encontrado aquí : véase la respuesta de Bruno Joyal a continuación:

el polinomio ciclotómico $\Phi_n(X)$ es irreducible sobre $\mathbf F_p$ precisamente cuando $p$ tiene orden multiplicativo $\varphi(n)$ modulo $n$ .

¿alguien podría dar la referencia donde se prueba o un croquis de la misma si no es demasiado profundo?

¿existen otros buenos teoremas que traten esta cuestión?

Answer 1

Para la primera parte de la pregunta: recuerde que para cualquier $\zeta$ en una extensión de campo (mínima) $\mathbb{F}_{p^s}$ de $\mathbb{F}_p$ su polinomio mínimo es $\prod_{t=0}^{s-1}{(X-\zeta^{p^t})}$ .

Sea $\zeta$ sea una primitiva $n$ -enésima raíz de la unidad (con $p$ no dividir $n$ ). Sea $\mathbb{F}_{p^s}$ sea la extensión de campo generada por $\zeta$ . Entonces $s$ es el grado del polinomio mínimo $\mu(X) | \Phi_n(X)$ de $\zeta$ en $\mathbb{F}_p$ .

Sabemos, pues, que $\zeta^{p^s-1}=1$ así que $n | p^s-1$ . Desde $\mu$ es el producto del $X-\zeta^{p^k}$ , $0 \leq k < s$ y $\mu | X^n-1$ que es coprimo con su derivada, $\mu$ sólo tiene raíces simples en $\mathbb{F}_{p^s}$ por lo tanto, para todo $1 \leq k < s$ , $\zeta^{p^k} \neq \zeta$ Así que $p^k-1$ no es divisible por $s$ . En otras palabras, $s$ es el orden multiplicativo de $p$ mod $n$ .

Así que $\Phi_n$ irreducible si $\mu=\Phi_n$ si $\mu$ tiene grado $\varphi(n)$ si $p$ tiene orden multiplicativo $\varphi(n)$ mod $n$ .

Tenga en cuenta que si $p$ no divide $n$ y tiene orden multiplicativo $\varphi(n)$ entonces $(\mathbb{Z}/(n))^{\times}$ es cíclico, por lo que $n$ es uno de $2,4,q^l,2q^l$ para $q$ un impar prime y $l \geq 1$ un número entero.