Estimación de la media a partir de observaciones normales independientes pero no iid

Question

Supongamos que tengo n observaciones, que están todas distribuidas normalmente con la mismo media (que es desconocida) pero cada una tiene una varianza diferente (las diferentes varianzas podrían denominarse $v_1, ..., v_n$ por ejemplo, que se suponen conocidos).

¿Cuál es la mejor estimación de la media? Y además, ¿cómo se calcula la varianza de la media?

Evidentemente, la media muestral sería la mejor estimación si iid, pero intuitivamente, una observación que tenga una varianza relativamente baja proporcionaría más información sobre la media que las demás, lo que sugeriría que la media muestral no sería la mejor estimación. Mi problema es que no sé cómo "cuantificar" esta intuición para generar una estimación de la media y su varianza. ¿Alguna idea sobre cómo hacerlo?

Answer 1

No define cómo quiere medir mejor .

La respuesta más fácil de dar es una media ponderada con los pesos proporcionales a la inversa de las varianzas conocidas. Será la mejor (varianza mínima) entre los estimadores lineales (que son insesgados). Es la mejor en el caso normal según varios criterios comunes.

$\hat{\mu} = \sum_i w_i x_i = \frac{1}{\sum_i 1/v_i}\sum_i x_i/v_i$

$\text{Var}(\hat{\mu})= (\frac{1}{\sum_i 1/v_i})^2 \sum_i 1/v_i^2 \cdot \text{Var}(x_i)$

$ = (\frac{1}{\sum_i 1/v_i})^2 \sum_i \frac{1}{v_i^2} \cdot v_i$

$ = (\frac{1}{\sum_i 1/v_i})^2 \sum_i 1/v_i$

$ = \frac{1}{\sum_i 1/v_i}$