Representar a $\sum_{k=1}^{n} k^{2}$ en términos de coeficiente binomial.

Question

Me encontré con un problema de probabilidad que es una especie de reto para un principiante en el sentido de que no he visto o me encontré con un montón de identidades binomiales. Lo que estoy buscando es ver si hay alguna manera de representar $\sum_{k=1}^{n} k^{2}$ en términos de coeficiente binomial.

Answer 1

Sí. Fíjate en lo siguiente: $$k^2=k\cdot (k-1)+k=2\cdot \frac{k(k-1)}{2}+\binom{k}{1}=2\binom{k}{2}+\binom{k}{1}.$$ Haciendo esto tenemos $$\sum _{k=1}^n\left (2\binom{k}{2}+\binom{k}{1}\right )=2\binom{n+1}{3}+\binom{n+1}{2},$$ utilizando la identidad Hockey-Stick.

Obsérvese que esto forma parte de un cuadro mayor en el que se puede pasar de polinomios como $x^k$ a polinomios como $\binom{x}{k}$ como un cambio de base.

Answer 2

La identidad

$\sum_{k=0}^n k^2 = 2\binom{n+1}{3} + \binom{n+1}{2}$

dado en la respuesta de Phicar se puede encontrar contando lo siguiente de dos maneras:

El número de triples de números enteros $(x,y,z)$ con $x < z$ y $y < z$ donde $x, y$ y $z$ están entre los números enteros $0, \dots, n$ .