Un morfismo suave de esquemas $f: X \to Y$ admite una sección étale-local a través de cualquier punto $x \in X$ .
Cabe preguntarse si este hecho es cierto en el contexto más general de los espacios complejos (es decir, cosas que se pegan a partir de subconjuntos analíticos de polidiscos de forma parecida a como las variedades algebraicas se pegan a partir de variedades afines).
Un mapa $f: X \to Y$ entre espacios complejos es plana en $x \in X$ si $\mathcal O_{X,x}$ es plano como un $\mathcal O_{Y,f(x)}$ -módulo, donde $\mathcal{O}_{X,x}$ es el anillo de los gérmenes de funciones analíticas en $x$ . Entonces étale es plano (en todos los puntos del dominio) y no ramificado. [Se puede encontrar esta definición en Grauert-Peternell-Remmert Varias variables complejas VII Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, vol. 74].
Sin embargo, no puede ser cierto tal y como está planteado. Consideremos la superficie de Hopf: el cociente de $\mathbb{C}^2 - (0,0)$ por la acción de $\mathbb Z$ : $z \mapsto (1/2 z, 1/2 z)$ . El mapa $(x,y) \mapsto (x : y)$ da una proyección $H \to \mathbb{P}^1$ con fibras curvas elípticas. No puede tener una sección meromorfa porque al componer con una proyección a uno de los ejes se obtendría un mapa meromorfo de $\mathbb{P}^1$ a una curva elíptica, y puesto que $\mathbb{P}^1$ es étale simplemente conectado étale cambio de base no ayudará a . (No estoy seguro de por qué tomar extensiones de base étale no ayudará, pero parece ser el caso)
Voy a ser ingenuo y arbitrario ahora y suponer que la razón por la que este contraejemplo funciona es que las fibras son "complicadas". ¿Y si las fibras son, digamos, $\mathbb{C}^n$ ?
Así que mi pregunta es: dado un morfismo suave $f: X \to Y$ de espacios complejos tal que todas sus fibras son isomorfas a $\mathbb{C}^n$ y un punto $x \in X$ ¿es cierto que $f$ admite una sección a través de $x$ definida en algún Zariski barrio abierto de $f(x)$ ¿tal vez después de un cambio de base étale?
¿Tiene en mente una clase natural más amplia de morfismos para los que funcione esta afirmación?
Actualización : Esto es en realidad una reminiscencia de esta vieja pregunta .
Estoy interesado en familias de espacios vectoriales definibles en la estructura de espacios complejos compactos (estos últimos están siendo ampliamente estudiados por Rahim Moosa (véase su estudio "Model theory and complex geometry"). Esto significa que quiero examinar el siguiente conjunto de objetos: conjuntos definibles $X$ y $Y$ y un mapa definible $p: X \to Y$ , los mapas $+: X \times X \to X$ y $\cdot: \mathbb{C} \times X \to X$ y una sección de $p$ , $0: Y \to X$ tal que la restricción de estos en cada fibra de $p$ definen una estructura de espacio vectorial sobre ella. Ahora unas palabras sobre lo que significa definible.
Un conjunto definible es un subconjunto construible (en el Zariski analítico ) de un espacio complejo compacto. Un mapa meromórfico entre espacios complejos $X$ y $Y$ es un subconjunto analítico $\Gamma \subset X \times Y$ tal que la proyección sobre la primera coordenada es sobre y es un mapa biholomorfo fuera de algún subconjunto analítico propio de $X$ . Nótese que no es lo mismo que un simple mapa holomorfo definido sobre un subconjunto abierto de $X$ (el exponente es un mapa holomorfo de $\mathbb{C} \supset \mathbb{P}^1$ a $\mathbb{P}^1$ pero no es meromorfa, ya que su gráfica no es un subconjunto analítico de $\mathbb{P}^1\times \mathbb{P}^1$ ). Un mapa definible es un mapa meromorfo a trozos, lo que significa que existe una cubierta $\cup U_i = X$ y en cada $U_i$ el mapa coincide con un mapa meromorfo $\overline{U_i} \to Y$ para algunos compacto $\overline{U_i}$ en el que $U_i$ incrustaciones.
Quiero demostrar que dada una familia definible de espacios vectoriales $p: X \to Y$ con fibras de dimensión constante existe una Zariski analítica abierto $U \subset X$ y un meromorfo $X|_U \to U \times \mathbb{C}^n$ . Zariski analítico es como la topología de Zariski para variedades algebraicas: los subconjuntos son conjuntos cerrados.
Ahora para preservar la cordura voy a suponer por un momoento que $X$ no es constructible sino sólo un subconjunto abierto de algún complejo analítico compacto compacto.
Parece que primero es necesario poder ta secciones locales de Zariski. La razón por la que quiero trabajar con analítica Zariski es que necesito producir un mapa meromorfo (a trozos) y parece muy difícil construir uno localmente en el complejo más fino. topología compleja más fina - mirando un trozo local no sabes si se extenderá a un mapa meromorfo en todo el dominio.
El ejemplo de la superficie de Hopf muestra que el Zariski local analítico no siempre son posibles. Todavía espero que sean posibles en mi caso restringido (las fibras son algo así como $\mathbb{C}^n$ ), tal vez después de una extensión de base étale.
