Esto es Ejercicio 4.2 de Roman, "Fundamentos de la teoría de grupos: Un enfoque avanzado" . Según esta búsqueda MSE y esta búsqueda Approach0 es nuevo en MSE.
La pregunta:
Sea $G$ y $K$ sean grupos con $H\le G$ . Demostrar que no siempre es posible extender un homomorfismo $\sigma:H\to K$ a $G$ .
Pensamientos:
Esto parece, prima facie como un trabajo para los casos extremos, como $K$ (y por tanto $H$ ) siendo trivial, aunque no he encontrado nada; la solución parece más escurridiza que eso.
Mi segunda idea vino en forma de suponer $G$ y $K$ son finitos, entonces empleando algún truco -todavía no sé cuál- con los órdenes de los grupos implicados, como el Teorema de Lagrange para el subgrupo $H$ en $K$ con el objetivo de conseguir $\lvert \sigma'(G)\rvert\nmid \lvert K\rvert$ de alguna manera, para alguna extensión potencial $\sigma':G\to K$ . Esto parece factible al principio pero, después de un tiempo, tengo dudas.
Además, no estoy del todo seguro de si la extensión es de $H$ a $G$ o de $K$ a $G$ (si entiendes lo que quiero decir). La palabra "extensión" sólo se define una vez antes del ejercicio ibid. pero es en un contexto totalmente diferente. Para completar, aquí está esa definición:
Sea $G$ sea un grupo. Nos referimos a los subgrupos $H$ y $K$ de $G$ para lo cual $H\le K$ como extensión .
Por favor, ayuda :)
