Acabo de citar parte de un teorema que estoy estudiando. Las preguntas siguen al teorema. Gracias.
Teorema 8.1 El espacio $\mathscr{L}_2(\Omega,\mu)$ de funciones $f:\Omega\to\mathbb{R}$ que son integrables al cuadrado son separables (en la topología de la norma) si y sólo si la medida $\mu$ tiene una base contable. Pruebas: Supongamos primero $\mathscr{L}_2$ es separable, por lo que existe una secuencia $\{f_n\}$ en $\mathscr{L}_2$ tal que para cualquier $\epsilon>0$ , $f\in\mathscr{L}_2$ podemos encontrar un número entero $k$ con $||f-f_k||<\epsilon$ Sea $\mathscr{C}$ sea cualquier colección de conjuntos medibles de medida finita. Entonces, para cada $A\in\mathscr{C}$ la función indicadora $\mathbb{1}_A\in\mathscr{L}_2$ por lo que existe un número entero $k_A$ tal que: $||f_{kA}-\mathbb{1}_A||<\frac{1}{3}\epsilon$ Entonces, si $\mathscr{C}$ es una base contable debemos tener : $||f_{kA}-f_{kB}||>\frac{1}{3}\epsilon\:\:\:\text{for}\:\:A\neq B$ para que $k_A\neq k_B$ y $\mathscr{C}$ debe ser contable. Por lema esto implica que $\mu$ tiene una base contable.
(1)¿Por qué $||f_{kA}-\mathbb{1}_A||<\frac{1}{3}\epsilon$ ? He intentado ampliarlo de esta manera $||f_{kA}-\mathbb{1}_A||=\int |f_{kA}-\mathbb{1}_A|^2 d\mu\leqslant\int |f_{kA}|^2 d\mu-\int|2f_{kA}\mathbb{1}_A|d\mu+\int|\mathbb{1}_A^2|d\mu$ . Supongo que como $||f_{kA}-\mathbb{1}_A||<\frac{1}{3}\epsilon$ así que $\int |f_{kA}|^2 d\mu-\int|2f_{kA}\mathbb{1}_A|d\mu<\frac{1}{3}\epsilon$ y creo que podemos hacer A tan pequeño como queramos para que $\mu(A)<\frac{1}{3}\epsilon$ ¿verdad? No sé si esto es pensar correctamente.
(2)¿Cómo puedo demostrar $||f_{kA}-f_{kB}||>\frac{1}{3}\epsilon\:\:\:\text{for}\:\:A\neq B$ ?
