$1 + \alpha+ \alpha^2+\alpha^3+ \dots + \alpha^{q-2}=$

Question

Demuestre que para cualquier $\alpha \in \mathbb{F}_q$

$$1 + \alpha+ \alpha^2+\alpha^3+ \dots + \alpha^{q-2}= \begin{cases} 1 &\text{if } \alpha=0 \\ -1 &\text{if } \alpha=1 \\ 0 &\text{otherwise} \end{cases} $$

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Problemas con la declaración de lo contrario

Parece que funciona a partir de muestras como en $F_3 =\{0,1,2\}$

para $\alpha=2$

$$ p(2)=1+2=3=0$$

para $\alpha=2$ y $F_5$

$$ p(\alpha) =1+2^1+2^2+2^3=1+2+4+3$$

El argumento que me gustaría hacer es que las potencias mapa a otro elemento y la adición de que termina siendo cero, pero la necesidad de buscar en los teoremas no tienen las herramientas. Para $\alpha=0$ debería ser obvio para $\alpha=-1$ acaba habiendo $q-1=-1$ . También me parece correcto utilizar la suma de series geométricas.

Answer 1

Para $\alpha=0$ el valor es obvio.

Desde $\mathbb F_q$ es un grupo aditivo de orden $q$ obtenemos que $$q\cdot 1 =\underbrace{1+\dots+1}_{q\text{ times}}=0$$ Eso demuestra su valor cuando $\alpha = 1$ :

$$1+1^1+\cdots+1^{q-2}=\underbrace{1+\cdots+1}_{q-1\text{ times}}=-1$$

Desde $\mathbb F_{q}^{\times}$ es un grupo multiplicativo de orden $q-1$ cuando $\alpha\neq 0$ , tienes $\alpha^{q-1}=1$ . Así que..: $$0=\alpha^{q-1}-1=(\alpha-1)(1+\alpha+\cdots \alpha^{q-2})$$ cuando $\alpha\neq 0$ .

En $\alpha\neq 1$ también, podemos concluir que el polinomio es cero, porque $\alpha-1\neq 0$ .

Answer 2

$$1 + \alpha + ... \alpha^{q-2} = \frac{1-\alpha^{q-1}}{1-\alpha} $$ Teniendo en cuenta que $F_q^*$ es un grupo finito (abeliano), tenemos que $\alpha^{q-1} = 1$ .