¿El punto de acumulación implica un punto límite estricto?

Question

Dado un espacio topológico $(X, \mathcal{T})$ y un subconjunto $A$ de $X$ define $p$ ser un punto límite estricto de $A$ si existe una secuencia $(x_n)_n$ en $A \setminus \{p\}$ tal que $x_n \rightarrow p$ . (Arbogast, Métodos de Matemática Aplicada página 9 - reserve aquí )

Es fácil demostrar que si $p$ es un punto límite estricto de $A$ entonces $p$ es un punto de acumulación de $A$ .

Lo contrario también es cierto si el espacio es contable en primer lugar (cada punto tiene una base contable de vecindades).

¿Es también cierto lo contrario cuando el espacio no es contable en primer lugar?

Answer 1

Un contraejemplo relativamente sencillo: sea $X = \mathbb{R}$ con la topología $\mathcal{T} = \{\emptyset\} \cup \{X \setminus A: A \text { at most countable }\}$ El llamado contable topología. Compruebe que se trata efectivamente de una topología. Efectivamente, no es contable en primer lugar.

A continuación, establezca $A = \mathbb{R}\setminus \{0\}$ y $0$ es un punto de acumulación de $A$ . Pero si $x_n$ es cualquier secuencia de puntos de $A$ entonces $X \setminus \{x_n: n \in \mathbb{N}\}$ está abierto, contiene $0$ y ningún punto de la secuencia, $0$ no es un punto límite estricto de $A$ .

Si conoces los ordinales, $\omega_1 + 1$ también es un ejemplo con $A = \omega_1$ y éste tiene axiomas de separación más agradables (y también es secuencialmente compacto). Este es el ejemplo de Giulio, esencialmente.

La clase puede ampliarse a los denominados espacios secuenciales en lugar de la más estricta primera contable. Pero se necesita alguna condición.

Answer 2

No, pero el único contraejemplo que se me ocurre es fácil si y sólo si se conocen los fundamentos de la teoría de los ordinales. Bueno, ya que existe una prueba en el primer caso contable, contraejemplos necesita algún tipo de construcción incontable, y por lo tanto se necesita algo así como la teoría de los ordinales.

Tome un conjunto bien ordenado $\alpha$ cuya cofinalidad es estrictamente mayor que $\aleph_0$ . Esto significa que cada función $f:\aleph_0\to\alpha$ respetar el orden es limitado, es decir, existe $y\in\alpha$ tal que, para cada $x\in\aleph_0$ , $y>f(x)$ . Ahora toma $\beta=\alpha\cup\{*\}$ donde $*$ es un elemento mayor que cualquier elemento de $\alpha$ . Ponte $\beta$ la siguiente topología: un subconjunto $U\subseteq \beta$ está abierto si $x<y$ y $x\in U$ implica $y\in U$ . Excepto en un caso: imponemos el subconjunto $\{*\}\subseteq\beta$ ser no abierto. Es fácil comprobar que esto define una topología, y que $\{*\}$ es un punto de acumulación. Aun así, dado que la cofinalidad de $\alpha$ es estrictamente mayor que $\aleph_0$ no puede haber ninguna secuencia en $\alpha$ convergiendo hacia $*$ Por lo tanto $*$ no es un punto límite de $\beta$ .