¿Es cierto que la distribución Fermi-Dirac es una probabilidad?

Question

¿Es cierto que la distribución Fermi-Dirac es una probabilidad ?

Lo he comprobado haciendo la integral, y esta no da 1.

Además, para $T=0 K$ como es una función escalonada, es fácil ver que la integral será $E_F$ diferente a 1.

Answer 1

La distribución de Fermi-Dirac (también la de Bose-Einstein) no da la probabilidad de encontrar el fermión (bosón) en una región de energía dada. Lo que da esta distribución es la probabilidad de encontrar un estado con energía E ocupado por un fermión (bosón), por lo que no tiene por qué dar 1 cuando se integra en todo el sistema. Obsérvese cómo la función FD está limitada a uno, recuérdese que dos fermiones no pueden ocupar el mismo estado cuántico (en realidad, habría que multiplicar la distribución f(E_i) por g_i, siendo g_i la degeneración del estado con energía E_i, es decir, esto tendría en cuenta el espín), en el caso de la estadística BE esto no ocurre, ¡ya que los bosones sí pueden compartir un estado cuántico!

Otro punto que quería hacer, deberías usar el potencial quimical, \mu en lugar de E_F. La energía de Fermi es fija para el sistema y se define como E_F= \mu (T=0).

Espero que te sirva de ayuda.

Answer 2

Lo que dice @Manuel Gallego que para cada estado de energía $E$ tenemos $$ P({\rm empty})= \frac{1}{(1+e^{-\beta (E-\mu)})}, \quad P({\rm occupied})= \frac{e^{-\beta (E-\mu)}}{(1+e^{-\beta (E=\mu)})}, $$ así que $P({\rm empty})+P({\rm occupied})=1$ y para $n=0$ o $n=1$ tenemos $$ \langle n\rangle = \frac{0\times 1}{(1+e^{-\beta (E-\mu)})}+ \frac{1 \times e^{-\beta (E-\mu)}}{(1+e^{-\beta (E-\mu)})} \\ = \frac{1}{1+e^{\beta (E-\mu)}} $$ que es la distribución F-D.

Answer 3

La función de ocupación de Fermi

$$ n(\epsilon)= \frac{1}{e^{-\beta(\epsilon-\mu)}+1},$$

no es una función de densidad de probabilidad. La condición de normalización es que:

$$N = \sum_i \bar{n}_i, $$

donde $\bar{n}_i=n(\epsilon_i)$ es el número medio de ocupación de un estado de 1 partícula con energía $\epsilon_i$ y donde la suma es sobre todos los estados de una partícula. Así, los números

$$ p_i = \frac{\bar{n}_i}{N},$$

son de hecho probabilidades, razón por la cual a veces se hace referencia al factor de ocupación de Fermi como dando las probabilidades de ocupación. Nótese, sin embargo, que se trata estrictamente de una probabilidad masa no es una función densidad función. Para obtener una densidad hay que multiplicar por el densidad de los Estados. Es decir, no es correcto escribir:

$$\sum_i \bar{n}_i \underbrace{\approx}_{\rm \color{red}{wrong}} \int_0^\infty \frac{{\rm d}\epsilon}{e^{-\beta(\epsilon-\mu)}+1}. $$

En cambio, lo correcto es que pero con un factor adicional, conocido como densidad de estados $g(\epsilon)$ incluida en la integral de la derecha. En el caso de un gas ideal tridimensional no relativista, por ejemplo, hay más estados por intervalo de energía a energías mayores, escalando como $g(\epsilon)\sim \sqrt{\epsilon}$ .