Los cuerpos convexos tienen más volumen en el exterior cerca del límite

Question

Busco una referencia para un resultado de la geometría convexa que sospecho que ya se ha demostrado. El resultado parece geométricamente obvio, pero no he podido encontrar un resultado similar en el libro de Peter Gruber ni he podido demostrarlo sucintamente con mis limitados conocimientos de geometría convexa.

Para cada $\epsilon > 0$ y $A \subseteq \mathbb{R}^d$ definimos $$B_\epsilon(A) = \{ x \in \mathbb{R}^d : \inf_{y \in A} |x-y| < \epsilon \},$$ donde $|\cdot|$ es la norma euclidiana habitual.

Sea $P$ es un cuerpo convexo propio y compacto en $\mathbb{R}^d$ y que $m$ denotan la medida de Lebesgue. Dejando a un lado los problemas de mensurabilidad, necesitamos la desigualdad $$m(B_\epsilon(\partial P) \cap P ) \le m(B_\epsilon(\partial P) \cap P^C )$$ para cada $\epsilon > 0$ . Como sugiere el título, no es más que la afirmación de que hay más volumen cerca del límite de un cuerpo convexo propio y compacto en el exterior que en el interior.

Para nuestra aplicación basta con considerar el caso en que $P$ es un politopo.

Answer 1

He aquí una demostración para el caso de un politopo convexo. ( Edita: Véase la respuesta de Wlodek Kuperberg para una versión elemental de este argumento despojado de toda notación innecesaria y extendido al caso general).

Si $P\subset \Bbb{R}^d$ es un politopo convexo compacto que contiene el origen $O$ en su interior entonces se puede descomponer en conos sobre sus facetas y basta con verificar la desigualdad para cada uno de estos conos (poliédricos) individualmente.

Sea $F$ sea una faceta con área $A$ . El hiperplano $H$ apoyo a $F$ separa $\Bbb{R}^d$ en dos semiespacios, el interior, $H^{-}$ que contiene $O$ y el exterior, $H^{+}$ . El cono convexo $C=\Bbb{R}^{+}F$ se divide en "interior" y "exterior", $C^{-}=C\cap H^{-}$ y $C^{+}=C\cap H^{+}$ . Entonces $B_{\epsilon}(F)\cap C^{-}$ el "interior" $\epsilon$ -vecindad de $F$ se encuentra en cilindro interior prisma rectangular orientado hacia el interior de altura $\epsilon$ basado en $F$ y $B_{\epsilon}(F)\cap {C}^{+}$ el "exterior" $\epsilon$ -vecindad de $F$ contiene el cilindro exterior prisma rectangular orientado hacia el exterior de altura $\epsilon$ basado en $F$ . Por lo tanto,

(el volumen interior) $\leq \epsilon A\leq$ (el volumen exterior).

Answer 2

Estoy seguro de que ESTÁ en el libro de Gruber - lo que quieres es la fórmula de Steiner sobre el volumen de los cuerpos paralelos (o barrios tubulares, si lo prefieres) de un cuerpo convexo. Estos tienen la forma:

$$V_r = \sum_{i=0}^d Q_i r^i,$$ donde el $Q_i$ son las integrales de Quermass, que son positivas, $r$ es la distancia a lo largo del hacia el exterior normal y $d$ la dimensión. $Q_1$ es el área del límite. Consideremos el cuerpo épsilon-paralelo $B_\epsilon$ en $B$ Entonces, el volumen de la vecindad interior es $$V(\epsilon) = \sum_{i=1}^d Q_i(B_\epsilon) \epsilon^i,$$ mientras que el volumen del exterior $|epsilon$ -el barrio es $$V_{2\epsilon} - V_\epsilon.$$ Observa que todos los términos de la diferencia son positivos.

Weyl lo generalizó a las variedades riemannianas, y existe todo un libro (bastante bueno) sobre el tema: Tubes, de Alfred Gray.

Answer 3

Una modificación de la respuesta de Victor Prostak da lugar a una prueba breve y casi elemental:

Dado que el conjunto de $n$ -politopos convexos es denso en el espacio de todos los $n$ -basta con demostrar la desigualdad en cuestión para los politopos convexos, y esto es bastante obvio cuando se erigen prismas perpendiculares de altura $\varepsilon$ en función de las facetas del politopo, una familia hacia el exterior del politopo y la otra hacia el interior. (No es necesario dividir el politopo en conos).

(Compárese con mi respuesta a una pregunta anterior, Una curva convexa dentro del círculo unitario y ver el dibujo en él).

Answer 4

Supongo que adecuado significa interior no vacío, ¿no? Afirmo que la desigualdad se cumple para cada $\epsilon>0$ (no sólo para valores pequeños), sin asumir $P$ sea un politopo. Supongamos primero que $P$ tiene una frontera suave.

Mira el mapa $F:\partial P\times\mathbb R\to\mathbb R^d$ , $F(x,t):=x+t\nu(x)$ , $\nu(x)$ siendo la normal unitaria exterior en $x$ . Entonces $F(\partial P\times(-\epsilon,0])\supseteq B_\epsilon(\partial P)\cap P$ y, siendo $P$ convexo, $F(\partial P\times (0,\epsilon))=B_\epsilon(\partial P)\cap P^c$ biyectivamente.

Dado $x\in\partial P$ tomar una base de vectores tangentes $e_1,\dots,e_{d-1}$ diagonalizando el operador de forma, es decir $d\nu_x[e_j]=\lambda_je_j$ . Desde $\langle d\nu_x[e_j],e_j\rangle$ es igual a $-\langle\nu(x),\ddot\gamma(0)$ para cualquier curva $\gamma:(-\delta,\delta)\to\partial P$ con $\dot\gamma(0)=e_j$ obtenemos por convexidad que $\lambda_j\ge 0$ .

Por lo tanto, para cualquier $t>0$ el determinante jacobiano de $F$ satisface $$JF(x,-t)=\prod_{j=1}^{d-1}|1-\lambda_jt|\le\prod_{j=1}^{d-1}(1+\lambda_jt)=JF(x,t).$$ La fórmula del área da $$m(B_\epsilon(\partial P)\cap P)\le\int_{\partial S\times(-\epsilon,0)}JF\le \int_{\partial S\times(0,\epsilon)}JF=m(B_\epsilon(\partial P)\cap P^C).$$

Puede eliminar fácilmente la suposición de suavidad: elija un convexo no negativo $f\in C^\infty(\mathbb R)$ con $f^{-1}(0)=(-\infty,0]$ y que $\psi(x):=\int_{S^{d-1}}f\circ d_v(x)\,dv$ donde $d_v$ es la distancia desde el semiespacio de apoyo en la dirección $v$ . Para ser más explícitos, $f\circ d_v(x)$ es igual a $f(\inf_{y\in P}\langle v,y\rangle-\langle v,x\rangle)$ .

$\psi$ es convexa, suave y desaparece en $P$ (en otro lugar $\psi>0$ ). Con Sard, toma un conjunto de subniveles suave $P_\lambda:=\{\psi\le\lambda\}$ con $\lambda>0$ arbitrariamente pequeño. Entonces $B_\epsilon(\partial P)\cap P\subseteq B_{\epsilon+\epsilon_\lambda}(\partial P_\lambda)\cap P_\lambda$ y $B_{\epsilon+\epsilon_\lambda}(\partial P_\lambda)\cap P_\lambda^c\subseteq B_{\epsilon+2\epsilon_\lambda}(\partial P)\cap P^c$ con $\epsilon_\lambda\to 0$ como $\lambda\to 0$ (puede tomar, por ejemplo $\epsilon_\lambda$ es la distancia de Hausdorff entre $\partial P$ y $\partial P_\lambda$ que en realidad es el que está entre $P$ y su superconjunto $P_\lambda$ ).