¿Cómo factorizo algo con 3 partes con una potencia mayor que 2 y un coeficiente en (a)?

Question

Este año empiezo la universidad y he tenido que tomarme un año sabático para reunir fondos que me ayuden a pagarla. Realmente no recuerdo cómo factorizar algo como

$4x^2 + 4x - 35$

Conozco la respuesta al problema de esta pregunta, ya que forma parte de mi guía de estudio del examen de preparación. Pero se hizo en 1 paso.

La respuesta es (2x-5) (2x+7). No se hicieron otros pasos para factorizar el problema, sólo se hizo en un paso a diferencia de otros como $5x^3 - 20x$ que entiendo cómo hacerlo. Y entiendo cómo hacer algo como

$x^3 + 2x^2 - 9x - 18$ . No puedo explicar los términos utilizados para resolver algo así, pero entiendo cómo hacerlo.

Otro ejemplo de problema que no puedo resolver debido a las reglas de la fórmula es

$8x^4-17x^3+9x^2$

Eso acaba convirtiéndose en $x^2 (8x^2 - 17x + 9)$ pero, ¿qué hago a partir de ahí? Tengo que factorizar de la misma manera que en el $4x^2 + 4x - 35$ problema.

¿Puede alguien explicarme cómo debe plantearse esto? Se lo agradecería mucho. Muchas gracias.

Answer 1

Voy a repasar un método conocido como el $AC$ -y utilizará su polinomio, $$4x^2+4x-35.$$

El método se denomina $AC$ -porque suponiendo que el polinomio sea de la forma $Ax^2+Bx+C$ queremos ver $AC$ . Para nuestro polinomio, $A=4, B=4, C=-35$ y vemos $AC= (4)(-35) = -140$ .

A continuación, identificamos dos números enteros $X,Y$ tal que su producto es $AC= -140$ y su suma es $B = 4$ . Tras explorar los pares de factores de $-140$ vemos que $X=14, Y= -10$ funciona desde $XY = (14)(-10)=-140=AC$ y $X+Y = 14+(-10) = 4=B$ . Ahora utilizamos nuestro $X$ y $Y$ para romper el término medio. A partir de ahí, agrupamos términos y factorizamos, $$4x^2+4x-35$$ $$=4x^2+14x-10x-35$$ $$=(4x^2+14x)+(-10x-35)$$ $$= 2x(2x+7)-5(2x+7)$$

Obsérvese que ambos términos tienen un factor de $2x+7$ podemos factorizar, $$2x(2x+7)-5(2x+7)$$ $$= (2x+7)(2x-5).$$

Este método funcionará siempre que tu cuadrática sea factorizable sobre los racionales, es decir, que pueda escribirse como $(ax+b)(cx+d)$ donde $a,b,c,d$ son números enteros.