Calcular el número total de votos emitidos dado el porcentaje de ganadores

Question

Sé que los tres primeros candidatos recibieron el 14,14%, el 13,13% y el 12,12% de los votos. También sé que el número total de votos no puede ser superior a 300, y que los números de votos emitidos y el total deben ser enteros, también creo que los porcentajes se redondean a dos decimales.

¿Cómo puedo calcular cuántos votos se han emitido en total?

Mis trabajos hasta ahora: He logrado crear las ecuaciones:

$\frac{a}{x*100} = 14.14$

$\frac{b}{x*100} = 13.13$

$\frac{c}{x*100} = 12.12$

que da:

$\frac{a}{x*100} +\frac{b}{x*100} + \frac{c}{x*100} = 14.14+13.13+12.12$

es decir:

$\frac{a+b+c}{3x} = 39.39$

y no sé a dónde ir desde allí ..

Otra vía es desde la intuición:

$A+B+C+D=100$

en este caso $D = 60.61$ para que podamos decir $\frac{d}{x*100}=60.61$ aunque no sé en qué ayuda esto...

Ahora de mirar las ecuaciones simultáneas en Wikipedia Me doy cuenta de que debemos resolver cada ecuación para una variable, lo que significa que podemos llegar a: $a = x1414$ , $b = x1313$ y $c = x1212$ o mejor dicho como: $\frac{a}{1414} =x$ , $\frac{b}{1313} =x$ y $\frac{c}{1212} =x$

Así que..: $\frac{a}{1414} =\frac{b}{1313} =\frac{c}{1212}$

y: $\frac{a}{1414} =\frac{b}{1313}$ significa que: $a=b1.076923$

y $\frac{b}{1313} =\frac{c}{1212}$ significa que: $b=c1.08333$

y $\frac{a}{1414} =\frac{c}{1212}$ significa que: $a=c.166666$

por lo tanto: $c1.166666 = (c1.08333)1.076923$ y esto se rompe cuando expandimos los paréntesis es decir: $c1.166666 = (c1.076923)(1.166666)$ de ahí mi pregunta.

Answer 1

Asumiendo que esos porcentajes deben tener decimales infinitamente repetidos, entonces 99 votos con cantidades de 14, 13 y 12 a los tres primeros candidatos funciona. Pero también lo hace duplicar o triplicar esas cifras.

Si los porcentajes indicados son exactos, entonces no hay solución con un total de votos inferior a 300. La solución más pequeña tiene 10000 votos totales con candidatos que obtienen 1414, 1313 y 1212.

Answer 2

Como enfoque general para encontrar enteros $m,n$ cuyo cociente se aproxima mucho a una fracción decimal, podemos utilizar el método de expansión continua de fracciones. Lo ilustraré con el número $13.13\%$ o $0.1313$ que aparecen entre los porcentajes de voto.

Primero tomamos el valor absoluto, en caso de que nos dieran un número negativo. Aquí el número es positivo y no hay que hacer nada. Construiremos una secuencia de pares de números enteros positivos $m_i,n_i$ tales por su tamaño dan la mejor aproximación racional posible.

Tire de la parte entera (número entero) para empezar, estableciendo $m_0=0$ en este caso y ponerlo sobre un denominador $n_0=1$ . Eso deja un resto $0.1313 - 0/1$ como nuestro "error" de aproximación.

En cada paso sucesivo tenemos un error de aproximación no negativo que es menor que uno, por ejemplo $0.1313$ en este caso. Si el error es cero, abandonar. Si no, tomando el recíproco del error se obtiene un nuevo valor mayor que uno:

$$ \frac{1}{0.1313} = 7 + 0.61614623\ldots $$

Considerado en términos de uso del dígito único $7$ como aproximación al error recíproco, tenemos:

$$ 0.1313 \approx 0 + 1/7 $$

y si continuamos de esta manera obtendremos una sucesión de aproximaciones mejoradas hasta que lleguemos exactamente:

$$ 0.1313 = 1313/10000 $$

Para su problema, usted llevaría a cabo el procedimiento de approxidación mientras el denominador permaneciera por debajo de $300$ hasta un valor redondeado a dos posiciones en el porcentaje (cuatro posiciones sin dicho signo de porcentaje). El procedimiento fallaría si el denominador superara $300$ , pero en el caso inmediato tenemos éxito con:

$$ 0.1313 \approx 13/99 $$