Pregunta sobre combinatoria 2019 AMC10A #25

Question

Estoy repasando un problema de AMC. Es 2019 AMC 10A #25 . Estaba repasando algunas soluciones y me atasqué en una parte.

Dicen: $\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}\cdot\frac{n!}{n^2}$ es un número entero, si $\frac{n!}{n^2}$ es un número entero, ya que $\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}$ es siempre un número entero. Y muestran cómo hacer $\frac{n!}{n^2}$ en un número entero y concluir el problema. Pero ¿qué ocurre en los casos en los que $\frac{n!}{n^2}$ no es un número entero, pero el producto sigue siendo un número entero? Por ejemplo, $6\cdot\frac{1}{2}=3$ . ¿No tenemos que explorar también esos casos antes de llegar a una conclusión? ¿O hay algo obvio que me estoy perdiendo?

Aquí está el vídeo explicando exactamente esa parte (empieza a las 12:00).

Answer 1

Tiene razón; en el caso de que $\frac{n!}{n^2}$ no es un número entero, no se sabe si $\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}\cdot\frac{n!}{n^2}$ es un número entero. Por lo tanto, para cada caso tal que $\frac{n!}{n^2}$ no es un número entero, deberá comprobar manualmente si $\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}\cdot\frac{n!}{n^2}$ es un número entero.

Existen $16$ casos excepcionales en los que $\frac{n!}{n^2}$ no es un número entero; $n=4$ y el $15$ números primos entre $1$ y $50$ . Los primos, $p$ son fáciles de comprobar (basta con contar los factores de $p$ en el numerador y denominador de $\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}\cdot\frac{n!}{n^2}$ para ver que no son enteros), así que sólo queda $n=4$ . Todo esto se describe en la solución 1 de su solución vinculada: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2019_AMC_10A_Problems/Problem_25 .