Topológicos, grupos, ¿por qué los necesita?

Question

Estoy leyendo a través de Munkres y Armstrong libros sobre la topología. Sin embargo, me parece topológicos, grupos a ser realmente complicado objetos! Creo que son dos veces tan difícil de tratar, a continuación, sólo los grupos y espacios topológicos, pero ¿por qué lo necesitamos? ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

A un topologist, topológicos, grupos son interesantes en su propio derecho. El grupo de estructura de la realidad nos da la interesante estructura topológica, también! Un hecho interesante es que el grupo fundamental de un invariante topológico) de un grupo topológico es Abelian, un hecho que, de forma espectacular no es cierto en general que cualquier grupo puede ser el grupo fundamental de un poco de espacio (prueba).

A un analista o un número teórico, ciertos tipos de grupos topológicos increíblemente útil de las propiedades. Localmente compacto grupos se sabe que tienen una medida de Haar, una medida que (en cierto sentido) respeta el grupo de operación (prueba; yo no aconsejo la lectura, honestamente - no es uno de mis favoritos de pruebas). Un grupo que tiene una medida de Haar significa que podemos importar temas de teoría de la medida y, esencialmente, hacer el análisis en este grupo (en particular, el análisis de Fourier). Una aplicación importante de esto es en la teoría algebraica de números, donde la medida de Haar nos permite hacer un montón de cosas que no sería capaz de hacerlo de otra manera.

He oído que la teoría de la representación topológica de los grupos es muy agradable, pero no tengo una referencia de la que yo he leído, así que tómelo como usted; pero este hecho puede hacer interesante un algebrista. En particular, se puede recuperar mucho de la teoría de representaciones de grupos finitos por lugar de trabajo con grupos compactos; hay una poderosa prueba técnica en la que una de las 'medias' sobre el grupo, y la medida de Haar le permite a uno hacer esto para grupos compactos, demasiado.

La combinación de la estructura del grupo y la estructura topológica es muy potente, y que hace que estos objetos útiles para los matemáticos de todos los colores cada vez que aparecen.

Answer 2

La razón por la que $<$concepto$>$ es importante es que hay suficientes ejemplos de $<$concepto$>$ a justificar la creación de la definición. Así que voy a responder a esta por dar algunos ejemplos. El primer ejemplo que encontramos es el de los números reales, $(\mathbb{R}, +)$ (por extensión de toda la $\mathbb{R}^n$). Vemos que el mapa de $sub:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$, el cual es definido por $(x,y)\mapsto x-y$ es continua. Por lo tanto $\mathbb{R}$ es un grupo topológico. Un ejemplo no es suficiente para justificar una definición, así que aquí están algunas más:

• Todos los de la matriz de los grupos de más de $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ (y también todos los de la Mentira de los grupos).

• El círculo de $S^1$, y todas las tori, $(S^1)^n$ (estos son casos especiales de la Mentira de los grupos, sino que son importantes de mencionar en su propio)

• Deje $X$ ser cualquier (razonable, véase el comentario de Mike, por una noción de lo razonable) de espacio. Entonces el conjunto de homeomorphisms del espacio, que denominaremos $\operatorname{Homeo}(X)$ puede ser topologized (con la compacta abierta de la topología) y por lo tanto es un grupo topológico. (Este es un poco más complicado que los dos primeros.)

• Cualquier espacio vectorial topológico, incluyendo los espacios de Banach y de Hilbert espacios. Estos son importantes porque vienen en el análisis funcional todo el tiempo.

Ahora, usted también dice que usted encontrar la noción de grupos topológicos difícil. Bien, supongamos que hemos de entender los espacios y de los grupos por separado. A continuación, todos estos grupos topológicos son los espacios que tienen una estructura de grupo de tal manera que toda la estructura del grupo es continua. Podemos hábilmente definir como un espacio de $X$ tal que los que tenemos un grupo de multiplicación en $X$, que vamos a llamar a $*$, de tal manera que el mapa $$\phi:X^2\to X$$ defined by $$(x,y)\mapsto x*y^{-1}$$ es continua. Para ayudarle a entender esta definición, yo aconsejaría usted a comprobar por ti mismo que los ejemplos anteriores son de hecho topológica de los grupos (con la posible excepción de la tercera, la que me quedaban hasta que usted sepa acerca de la compacta abierta de la topología).

El hecho de que la estructura del grupo es continua da a nuestro espacio una propiedad llamada homogeneidad. A grandes rasgos, esto significa que cada "punto de mira" como muy otro punto. Para ser más precisos, cada punto se ve como el elemento de identidad. Lo que esto realmente significa que si no estamos siendo vago, es que si tenemos un pequeño barrio de la identidad elemento $U_e$, entonces, usando la continuidad del grupo de operación, podemos encontrar un homoeomorphic barrio de $g$ para cualquier elemento $g$, que vamos a llamar a $U_g$. Definimos $U_g$ $$\{h\in X:g^{-1}h\in U_e\}.$$ A nice exercise is to show the map, $$\theta:U_g\to U_e$$ given by $$g_2\mapsto g*g_2$$ es de hecho un homeomorphism.

Para ver esta homogeneidad en $\mathbb{R}^2$, supongamos que tenemos un pequeño barrio de el origen, dicen $$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2<\epsilon\}$$ for some $\epsilon$. We also have a small neighborhood of any another point. For example, the neighborhood of $(4,5)$ is given by $$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: (x-4)^2+(y-5)^2<\epsilon\}.$$ Moreover, the map, $$(x,y)\mapsto (x+4, y+5)$$ es el mapa continuo que se lleva el primer vecindario a la segunda.

En conclusión, aquí están algunas de las diapositivas de una charla que podría dar una visión adicional, o al menos en algunas otras ideas.

Answer 3

Convierte de comentarios para respuesta: Topológica de los grupos se utilizan para el estudio continuo de las simetrías, y se utiliza muy frecuentemente en la física teórica moderna. Local simetrías forman la base para medidor de teorías - QED es una abelian teoría de gauge con el grupo de simetría $U(1)$, la cromodinámica cuántica, es un indicador de la teoría con la acción de la $SU(3)$, y la atracción principal: el Modelo Estándar es un no-abelian teoría de gauge con el grupo de simetría $U(1)×SU(2)×SU(3)$. Como se puede ver, topológicos, grupos son utilizados para el estudio continuo de las simetrías, y se utiliza muy frecuentemente en la física teórica moderna. De hecho, hay muchos más ejemplos, pero un agrandamiento de la post ser, sería más apropiado para la Física. S.E.

Answer 4

Topológico grupos también surgen de la puramente algebraico situaciones. Aquí son sólo dos de los ejemplos más comunes.

En la teoría de los números uno considera los anillos de $p$-ádico números de $\mathbb Z_p$ para los números primos $p$. No voy a entrar en su construcción, excepto para señalar que su topología, está construido de puramente algebraica consideraciones, y que $\mathbb Z_p$ es de hecho un topológico anillo, no sólo un grupo topológico, con campo de fracciones de $\mathbb Q_p$ (topológico de campo). La topología de estos anillos/campos simplifica en gran medida la teoría de sus extensiones algebraicas, y podemos entender muchas cosas acerca de la $\mathbb Z$ $\mathbb Q$ una vez que entendemos $\mathbb Z_p$ $\mathbb Q_p$ para todos los números primos $p$. (También necesitamos considerar $\mathbb R$, que es también un campo topológico.)

He aquí otro ejemplo. El Galois correspondencia entre los subgrupos intermedio y de campo extensiones se rompe cuando uno mira al infinito extensiones--hay muchos subgrupos de la esperanza de un bijective correspondencia. Pero Galois grupos puede ser expresada como la inversa de los límites de los grupos finitos, que llevan los Krull topología. Y resulta que el cerrado subgrupos en esta topología corresponden a intermedio extensiones, con abrir los subgrupos correspondientes a la finitos subextensions (sí, abrir los subgrupos están cerrados).

En los ejemplos anteriores, los espacios topológicos son un poco extraña (se ven como conjuntos de Cantor, de hecho $\mathbb Z_2$ es homemorphic a Cantor del medio tercios), pero su estructura topológica es exactamente lo que necesita para asegurarse de que estos grupos de medir lo que se supone.