Localización por un no nilpotente como cociente polinómico

Question

En Dummit y Foote, Ejercicio 15.18 (p. 727 3ª edición) se pide demostrar que para un anillo conmutativo con unidad $R$ y $f$ un elemento no nilpotente de $R$ que la localización $R_f$ es isomorfo a $R[x]/(xf - 1)$ .

Lo he hecho, siguiendo la estrategia planteada en el problema, utilizando la propiedad universal de $R_f$ demostrado en el teorema 36. El problema que tengo es el siguiente:

Si $R_f \cong R[x]/(xf - 1)$ y $\phi:R[x] \to R_f$ es un homomorfismo suryectivo, es lógico que $\text{ker}(\phi)$ debe ser $(xf - 1)$ . No puedo mostrarlo directamente. El homomorfismo suryectivo que tengo en mente es, para:

$p(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_mx^m$

$\phi(p) = \dfrac{a_0}{1} + \dfrac{a_1}{f} + \cdots + \dfrac{a_m}{f^m}$

Para mí está claro que $\phi$ aniquila $(xf - 1)$ por lo que el ideal está contenido en el núcleo. Lo que no puedo demostrar es la otra contención, o equivalentemente:

Si $\phi(g) = 0_{R_f}$ entonces $g(x) \in (xf - 1)$ . El problema que me encuentro es que $R$ puede ser un anillo "malo", que contenga muchos divisores de cero, $f$ podría ser incluso un divisor nulo (ser no nilpotente es una propiedad considerablemente más débil), por lo que los trucos polinómicos habituales del algoritmo de división o el uso de la irreducibilidad de $xf - 1$ no son de mucha utilidad, aquí.

Creo que me estoy perdiendo algo obvio....¿qué es?

Answer 1

La hipótesis de que $f$ no es nilpotente, no es necesario y debería borrarse.

En lugar de trabajar con elementos, deberías trabajar con morfismos (es una idea general de la teoría de categorías), porque esto simplifica mucho las cosas y no tendrás que calcular nada.

Tenemos un homomorfismo canónico $R \to R[x] \to R[x]/(xf-1)$ que envía $f$ a un elemento invertible (la clase de $x$ ). Por lo tanto, por la propiedad universal de las localizaciones, se eleva unívocamente a un homomorfismo $R_f \to R[x]/(xf-1)$ .

A la inversa, consideremos el elemento $1/f \in R_f$ . Por la propiedad universal de $R[x]$ existe un homomorfismo $R[x] \to R_f$ ampliando $R \to R_f$ y cartografía $x$ a $1/f$ . Este homomorfismo mata $xf-1$ por construcción, por lo que se eleva a un homomorfismo $R[x]/(xf-1) \to R_f$ .

Es fácil ver que estos homomorfismos son inversos entre sí (de nuevo utilizando las propiedades universales, pero también utilizando elementos si se quiere).

Si conoces el Lemma de Yoneda, podemos incluso dar una prueba más corta y sencilla (siguiendo esencialmente el mismo argumento): Sea $S$ sea un anillo conmutativo. Tenemos biyecciones naturales

$$\hom(R[x]/(xf-1),S) \cong \{\phi \in \hom(R[x],S) : \phi(x) \phi(f)=1\}$$ $$\cong \{(\psi,s) : \psi \in \hom(R,S), s \in S, s \psi(f)=1\}$$ $$ \cong \{\psi \in \hom(R,S) : \psi(f) \in S^*\} \cong \hom(R_f,S).$$

Por lo tanto, $R[x]/(xf-1) \cong R_f$ .

EDITAR:

Para una prueba directa de que el núcleo de $R[x] \to R_f$ es precisamente $(xf-1)$ Ver Anillos de fracciones por las malas por F. Voloch.