Lebesgue- $\sigma$ -algebras $\mathfrak L^{p+q}\neq\mathfrak L^p \otimes\mathfrak L^q$

Question

Ya sé que para Borel- $\sigma$ -se cumple que $\mathfrak B^{p+q}=\mathfrak B^p \otimes\mathfrak B^q$ . Ahora quiero mostrar que este no es el caso para Lebesgue- $\sigma$ -algebras $\mathfrak L$ .

Así que, en primer lugar, dado un conjunto nulo de Lebesgue nulo $N$ en $\mathbb R^p$ He demostrado que $N\times B$ es un conjunto nulo de Lebesgue en $\mathbb R^{p+q}$ para arbitraria $B\subseteq \mathbb R^q$ . Ahora, ¿cómo puedo demostrar que $$\mathfrak B^p \otimes\mathfrak B^q\subsetneq \mathfrak L^p \otimes\mathfrak L^q \subsetneq \mathfrak L^{p+q} $$

Mi trabajo para la primera parte de la prueba: Así que si elegimos $B$ donde $\mu(B)<\infty$ es evidente que obtenemos $$\lambda(N\times B)=\nu(N)\mu(B)=0\times M=0$$ donde $M\in\mathbb R$ es un límite superior de $\mu(B)$ .

Así consideré el caso $\mu(B)\infty$ . Desde $\mu$ es $\sigma$ -aditivo, podemos encontrar una secuencia $B_n\subseteq B$ tal que $\bigcup_{n=1}^\infty B_n = B$ y $\mu(B_n)<\infty$ para todos $n$ . De ello se deduce que $$\lambda(N\times B)= \lambda(N\times \bigcup_{n=1}^\infty B_n )=\nu(N)\mu(\bigcup_{n=1}^\infty B_n) = \nu(N)\lim_{n\to\infty}\mu( B_n)=0\times S=0$$ donde $S$ es el límite superior de $B_n$ .

Answer 1

Creo que tu prueba resuelve completamente la primera parte de la pregunta. Así que sólo abordaré la segunda cuestión:

$$\mathfrak L^p \otimes\mathfrak L^q \subsetneq \mathfrak L^{p+q}$$

El contraejemplo puede darse para $p=q=1$ . Luego se puede ampliar para cualquier índice.

Sea $V$ sea el conjunto Vitali en $\mathbb{R}.$ Tenemos que $N := V\times \{0\} \subset \mathbb{R} \times \{0\} \subset \mathbb{R}^2$ se encuentra en $\mathfrak L^{p+q},$ ya que está contenido en un conjunto nulo.

Pero no está contenida en el producto Lebesgue sigma-algebra. Esto se debe a que las secciones de conjuntos en una sigma-álgebra producto deben ser medibles. Pero la sección en $0$ de nuestro conjunto no es medible en Lebesgue, ya que $N_0 = V$ es el conjunto Vitali.