Prueba de inducción geométrica

Question

$RTP$ : Examinemos un $2^n2^n$ cuadrado. Demostrar por inducción, que si quitamos un bloque de este cuadrado, entonces el cuadrado restante se puede cubrir con....

estos cuadrados de manera que las imágenes no se superpongan entre sí.

$Solution$ : El cuadrado restante se puede cubrir, si el producto $2^n2^n-1$ es divisible por 3 para todo $nN$ es decir, nuestra afirmación a demostrar por inducción es $$32^n2^n-1$$ Mostremos que el caso base es cierto, $n=1$ . Es decir $33$ lo cual es cierto. Supongamos que es cierto para $n=k$ y demostrar que es cierto para $n=k+1$ donde $kN$ . Por lo tanto, suponemos que $$32^k2^k-1$$ es cierto. Ahora echemos un vistazo a $n=k+1$ $$32^{k+1}2^{k+1}-1$$ $$3(2^{k}2)(2^{k}2)-1$$ $$32^{k}2^k-122$$

Basándonos en nuestra hipótesis, podemos decir que $2^k 2^k -1$ es divisible por 3. Ahora bien, si lo multiplicamos por $22$ seguirá siendo divisible por 3. Por tanto, nuestra afirmación es cierta por inducción. ¿Es esto correcto? No estoy seguro de mi análisis del cuadrado restante.

Answer 1

No, no es correcto. Supone que si, después de eliminar una casilla del tablero, el número de casillas restantes es múltiplo de $3$ Entonces el tablero (menos el cuadrado eliminado) se puede embaldosar con las piezas que has mencionado. Esto no es cierto en general. Si tiene una $5\times5$ tablero del que se quita una casilla de la segunda fila, entonces las casillas restantes no se pueden embaldosar de esa manera, a pesar de que haya $24(=8\times3)$ esas plazas.

Encontrará aquí una prueba de la afirmación que quiere demostrar.