Limitación de un polinomio complejo fuera del círculo unitario

Question

Supongamos que $P(z)$ es un polinomio holomorfo de grado $n$ limitada por encima por alguna constante $M$ siempre que $|z| = 1$ . Demuestre que $$|P(z)| \leq M|z|^n$$ siempre que $|z| \geq 1$ .

El otro día me encontré con este problema y no consigo solucionarlo. ¿Quizá alguna versión del lema de Schwarz combinada con el principio del módulo máximo sirva? Necesito demostrar este resultado para poder demostrar un resultado mayor para un proyecto en el que estoy trabajando, pero no consigo empezar bien. ¿Se me ocurre algo?

Answer 1

Considere $|z|\leq 1$ . La función $z^nP(1/z)$ es holomorfa en el disco $|z|\leq 1$ (el polo dado por el polinomio queda anulado por el $z^n$ ). Tiene que alcanzar su máximo en el límite $|z|=1$ por lo que para $|z|\leq 1$ , $$|z^nP(1/z)|=|z|^n|P(1/z)|\leq \max_{|z|\leq 1}|z|^n|P(1/z)|=\max_{|z|=1}|P(1/z)|\leq M.$$

Ahora, dejemos que $w$ para que $|w|\geq 1$ y foto $z=1/w$ dentro del disco de la unidad. De lo anterior tenemos $$ |w|^{-n}|P(w)|=|z^nP(1/z)|\leq M .$$ Esto lleva a la conclusión.