¿Existen análogos de los valores propios/vectores propios para un homomorfismo/endomorfismo de anillo?

Question

Mi pregunta es muy sencilla. Por ponerlo en un contexto, una transformación lineal no es más que un homomorfismo de un espacio vectorial a otro. Yo suelo visualizar la acción de una transformación lineal pensando en lo que le hace a la hiperesfera unitaria. Los vectores propios, junto con sus valores propios, describen los ejes de acción en este caso.

No he podido encontrar una referencia explícita a ningún tipo de análogo de este fenómeno a los homomorfismos/endomorfismos de anillo. En concreto, ¿existe una forma estándar de describir la acción de un homomorfismo/endomorfismo de anillo en el sentido descrito? Más concretamente, ¿cuál sería el análogo de una transformación ortogonal (con todos los valores propios de módulo 1) en el ámbito de los homomorfismos/endomorfismos de anillo?

edit: Ahora creo que he formulado mi pregunta de una forma un tanto desordenada. Pero mantengo intactos los dos primeros párrafos. No soy matemático y en los últimos años me he enseñado a mí mismo lo que parece ignorando casi por completo los detalles técnicos y concentrándome primero en los conceptos. Lo que yo estaría preguntando es en realidad ¿cómo es el conjunto de todos los homomorfismos/endomorfismos de anillos (de un anillo a sí mismo/a otro)? ¿Puedo introducir alguna métrica/criterio para distinguirlos, diciendo que éstos se comportan bien y éstos no, igual que puedo hacer para las transformaciones lineales?

Answer 1

No se puede hablar de los vectores propios de una transformación lineal entre dos espacios vectoriales diferentes. Sólo se puede hablar de los vectores propios de una transformación lineal de un espacio vectorial a sí mismo. Así que la pregunta análoga es sobre los endomorfismos de anillo, pero los endomorfismos de anillo son complicados en general y no admiten una descripción ni de lejos tan sencilla como la descripción de las transformaciones lineales.

Por ejemplo, comprender el comportamiento de los endomorfismos de anillos de $\mathbb{C}(x)$ es altamente no trivial y conduce a fenómenos complicados como Conjuntos Julia . Los elementos de Grupos de Galois son también endomorfismos de anillos, y comprender los grupos de Galois es también un problema importante (por ejemplo, comprender la grupo de Galois absoluto de los racionales es uno de los principales objetivos de la teoría moderna de los números).

Answer 2

Mira la ecuación $Tx=\lambda x$ . Desde el $x$ está en ambos lados, parece $T:R\to R$ para que la ecuación tenga sentido, y además tenemos que averiguar qué $\lambda$ es, si es sólo de $R$ o de alguna acción del módulo sobre elementos de $R$ .

Llamaré $x$ y "eigenelemento" de $R$ . Al igual que con los espacios vectoriales, no tendrá ningún problema para comprobar que los elementos propios correspondientes al mismo valor propio $\lambda$ forman un subgrupo de $R$ . Para formar un ideal correcto de $R$ Sin embargo, necesitaríamos $T(xr)=\lambda xr$ para arbitraria $r\in R$ . Esto es incluso improbable cuando $R$ es conmutativa, pues tenemos que $T(xr)=T(r)\lambda x$ y no hay ninguna garantía de que $T(r)=r$ . Así pues, se pierde la esperanza de encontrar "eigenidales" de $R$ .

Supongo que esto significa que se puede hablar de "eigensubgrupos de $R$ ", pero nunca he oído nada parecido que lleve a una descomposición útil de $R$ . Ciertamente, sería inusual que resultara jugar bien con la estructura multiplicativa.

Las cosas mejoran un poco si te permites considerar una $K$ álgebra $R$ para un anillo conmutativo $K$ . En este caso, también estaría requiriendo el endomorfismo de anillo $T$ ser $K$ lineal. En consecuencia, $R$ es sólo un $K$ y su endomorfismo de anillo es a fortiori a $K$ homomorfismo de módulo. Eso permitiría $K$ -eigenvectores que deben describirse para $T$ pero sólo darían información sobre $T$ como $K$ enomorfismo lineal de $K$ módulos, y no tendría mucho que decir sobre el hecho de que $T$ es multiplicativa.