Encontrar una matriz $B$ tal que $B^* B=A$ para una Hermitiana dada $A$

Question

Sea

$$A=\left[ \begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & i \\ 0 & -i & 1 \end{array} \right].$$

Encontrar una matriz $ B $ tal que $B^*B$ = $A$ (estrella significa transposición conjugada de $B$ ).

Creo que $A$ es hermitiana, por lo que $A^* =A$ Además, podemos editar esto como $BB^*=A$ . Pero no pude resolverlo del todo.

Answer 1

En primer lugar, no se puede tomar la Hermitiana de un producto de matrices así.

$$(B^*B)^*=B^*B\neq BB^* $$

Puede examinar el $4$ y $\left( \begin{array}{cc} 1 & i \\ -i & 1 \\ \end{array} \right)$ por separado, ya que los elementos fuera de la diagonal son cero. Pude adivinar simplemente qué matriz daría $\left( \begin{array}{cc} 1 & i \\ -i & 1 \\ \end{array} \right)$ cuando se multiplica por su transpuesto conjugado.

$$B=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -i & 1 \\ \end{array} \right)$$

Answer 2

Sea $A$ ser un $n\times n$ Matriz hermitiana. Por tanto, debe existir una base ortonormal de vectores propios correspondientes a valores propios reales. Escríbala como $$A = \sum_k \lambda_k P_{v_k},$$ donde $\lambda_k\in\mathbb R$ y $P_{v_k}\equiv v_k v_k^*$ es la ortoproyección sobre el vector $v_k$ .

Sea $B$ ser algo $m\times n$ cuya matriz SVD lee $$B = \sum_k s_k (u_k w_k^*),$$ para algunos $s_k\ge0$ y $u_k\in \mathbb C^m, w_k\in\mathbb C^m$ y $\{u_k\}_k,\{w_k\}_k$ conjuntos de vectores ortonormales.

Entonces, $B^* B$ lee $$B^* B = \sum_k s_k^2 (w_k w_k^*) = \sum_k s_k^2 P_{w_k}.$$ Si queremos $B^* B=A$ por lo que necesitamos $\sum_k\lambda_k P_{v_k}=\sum_k s_k^2 P_{w_k}$ . En $\{v_k\}_k,\{w_k\}_k$ ambos conjuntos de vectores ortonormales, esto sólo es posible si, hasta cierto reetiquetado, $\lambda_k=s_k^2$ .

Si $A$ (y por tanto $B^* B$ ) es no degenerada, entonces también podemos concluir inmediatamente que $P_{v_k}=P_{w_k}$ . En términos más generales, puede haber valores propios degenerados. En este caso, la unicidad de la descomposición espectral de una matriz nos dice que el eigenspaces de $A$ y $B^* B$ correspondientes al mismo valor propio deben ser iguales.

En conclusión, si $B^*B=A$ para $A$ Hermitiana, entonces $B$ debe tener la forma $$B = \sum_k \sqrt{\lambda_k} (w_k v_k^*),$$ para alguna elección de vectores ortonormales $\{w_k\}_k\subset\mathbb C^m$ .