Grupo fundamental del nudo toroidal con una definición específica

Question

Tengo el siguiente problema que no puedo resolver:

Sea $T\subset S^3$ sea el toro estándar y $T(p,q)$ sea una curva cerrada simple situada en $T$ que representa el $pr+qs$ clase homológica. Sea $Y=S^3-\nu(T(p,q))$ . Utiliza Seifert-Van-Kampen para demostrar que $\pi_1(Y)=\langle x,y \mid x^p=y^q \rangle$ .

Creo que $T(p,q)$ es lo que se suele llamar un nudo toroidal. He visto en Hatcher cómo encontrar el grupo fundamental, pero allí el nudo toro se define como la incrustación de $S^1 \rightarrow S^1\times S^1$ vía tha map $z\mapsto (z^p,z^q)$ . Además, la prueba es bastante larga. ¿Hay alguna manera fácil de calcular el grupo fundamental dada esta definición de $T(p,q)$ ?

Answer 1

La explicación de Hatcher es demostrar cómo retraer la deformación $Y$ en un complejo CW, ya que es una técnica útil para calcular grupos de homotopía y homología.

Un esbozo de un uso más directo del teorema de van Kampen: Podemos descomponer $S^3-T$ en dos toros sólidos abiertos $A,B$ . Sea $C$ sea $T-T(p,q)$ se espesó un poco. Entonces, $A\cup C$ y $B\cup C$ forman una cubierta abierta de $Y$ con intersección de caminos conectados. $\pi_1(A\cup C)\cong\pi_1(A)$ es generado por algún bucle $x$ y $\pi_1(B\cup C)\cong\pi_1(B)$ es generado por algún bucle $y$ . La intersección $C$ es un anillo engrosado, por lo que también está generado por algún bucle $z$ . Incluido $z$ en $A\cup C$ o $B\cup C$ da $x^p$ o $y^q$ respectivamente (quizás intercambiando $p$ y $q$ dependiendo del convenio). El teorema de van Kampen dice que $\pi_1(Y)\cong\langle x,y\mid x^p=y^q\rangle$ ya que se trata de $\pi_1(A\cup C)*_{\pi_1(C)}\pi_1(B\cup C)$ .