Contexto:
Recientemente, me interesé por la media Aritmético-Geométrica $\mathrm{AGM}(x,y)$ porque tenía la sorprendente propiedad de que $$\int_0^{\pi/2}\frac{dt}{\sqrt{x^2\cos^2t+y^2\sin^2t}}=\frac{\pi}{2\mathrm{AGM}(x,y)}.$$ Digo que es sorprendente porque tiene una definición muy complicada:
Si las secuencias $(a_n)$ y $(g_n)$ se definen mediante $$\begin{align} a_{n+1}&=\tfrac12(a_n+g_n) &a_0&=x\\ g_{n+1}&=\sqrt{a_n g_n} &g_0&=y \end{align}$$ entonces $$\mathrm{AGM}(x,y):=\lim_{n\to\infty}a_n\ .$$
Después de meterme con $\mathrm{AGM}$ y pude demostrar su relación con la integral elíptica anterior, me hice la pregunta "¿existe una media aritmético-armónica?". La respuesta: sí.
La media aritmético-armónica:
Definimos las secuencias $$\begin{align} a_{n+1}&=\tfrac{1}{2}(a_n+h_n) &a_0&=x\\ h_{n+1}&=\frac2{\frac1{a_n}+\frac1{h_n}} &h_0&=y \end{align}$$ y la media Aritmético-Harmónica se define entonces como $$\mathrm{AHM}(x,y):=\lim_{n\to\infty}a_n\ .$$ Sorprendentemente, podemos encontrar una evaluación de forma cerrada para $\mathrm{AHM}(x,y)$ asumiendo $x,y>0$ . Lo hacemos observando que $$h_{n+1}=\frac{2a_nh_n}{a_n+h_n}=\frac{a_nh_n}{a_{n+1}}$$ para que $$a_nh_n=a_{n-1}h_{n-1}=a_0h_0=xy$$ dando $$a_{n+1}=\frac12\left(a_n+\frac{xy}{a_n}\right)$$ que converge a $$\lim_{n\to\infty}a_n=\mathrm{AHM}(x,y)=\sqrt{xy}\ .$$
Establecido esto, quería saber si existe una media geométrico-armónica.
La media geométrico-armónica:
Primero debería definirlo. Que las secuencias $(h_n)$ y $(g_n)$ definirse como $$\begin{align} h_{n+1}&=\frac{2}{\frac1{h_n}+\frac1{g_n}} &h_0&=x\\ g_{n+1}&=\sqrt{h_n g_n} &g_0&=y \end{align}$$ entonces, asumiendo la convergencia, defina $$\mathrm{GHM}(x,y):=\lim_{n\to\infty}h_n\ .$$ Parece que será más difícil averiguar cosas sobre $\mathrm{GHM}$ porque no consigo simplificar suficientemente la relación entre las dos secuencias como pude hacer con $\mathrm{AHM}$ . Sin embargo, creo que aquí puede haber una relación integral realmente interesante.
Hice una pequeña investigación por mi cuenta. Un valor notable de $\mathrm{AGM}$ es la constante de Gauss: $$\mathbf{g}=\mathrm{AGM}(1,\sqrt2)=\frac{(2\pi)^{3/2}}{\Gamma^2(\tfrac14)}.$$ He encontrado $h_4$ y $g_4$ para $h_0=1$ , $g_0=\sqrt{2}$ en Desmos : $$h_4\approx g_4\approx 1.18034059902$$ para lo cual Wolfram sugiere la forma cerrada $$1.18034059902\approx \sqrt{2}\,\mathbf{g}$$ lo cual es definitivamente muy sospechoso...
Así que mis preguntas: ¿Hay alguna conexión entre $\mathrm{AGM}$ y $\mathrm{GHM}$ ? ¿Existe una buena relación integral para $\mathrm{GHM}$ ? ¿Existe un sistema cerrado para $\mathrm{GHM}$ ?
