Continuidad por la derecha de una función definida por una integral impropia

Question

Supongamos que tenemos una función continua definida por $$f:\Bbb R\times(0,\infty)\to\Bbb R,\quad (t,x)\mapsto f(t,x)$$

tal que $F(x):=\int_0^\infty f(t,x)\,\mathrm dt$ converge uniformemente en $[c,\infty)$ para cualquier $c>a$ donde la integral es una integral impropia de Riemann. Cuando podemos decir que

$$\lim_{x\to a^+}F(x)=\int_0^\infty \lim_{x\to a^+}f(t,x)\,\mathrm dt=\int_0^\infty f(t,a)\,\mathrm dt$$

para algunos $a>0$ ? Es decir, cuando podemos decir que $F$ es continua en $a$ por la derecha?

---

Antecedentes: esta pregunta es sólo por curiosidad, no tengo una respuesta clara por ahora.

Answer 1

Esto no es cierto en general aunque la integral impropia $\int_0^\infty f(t,a) \, dt$ converge y $F(a)$ existe.

La afirmación es cierta, por supuesto, si la integral impropia $\int_0^\infty f(t,x) \, dt$ es uniformemente convergente en $[a,\infty)$ pero no basta con que la convergencia sea uniforme en el intervalo $[c,\infty)$ para cada $c > a.$

Como contraejemplo, tomemos $f(t,x) = \sin(xt)/t$ para $t \neq 0$ y $f(0,x) = x$ . Para la integral impropia

$$\tag{*} F(x) = \int_0^\infty \frac{\sin (xt)}{t} \, dt$$

tenemos $F(0) = 0$ y $F(x) = \frac{\pi}{2}$ para todos $x > 0$ . Por lo tanto,

$$F(0) = 0 \neq \frac{\pi}{2} = \lim_{x \to 0+} F(x).$$

Demostramos que (*) es uniformemente convergente en $[c, \infty)$ con $c >0$ utilizando el criterio de Cauchy. Por el segundo teorema del valor medio de las integrales, para todo $a_2 > a_1 >0$ existe $\xi \in (a_1,a_2)$ tal que

$$\tag{**}\left|\int_{a_1}^{a_2} \frac{\sin (xt)}{t} \, dt\right| = \left|\frac{1}{a_1}\int_{a_1}^{\xi} \sin (xt) \, dt\right| = \frac{|\cos (xa_1) - \cos(x \xi)|}{xa_1} \leqslant \frac{2}{c a_1}$$ .

Para cualquier $\epsilon > 0$ el lado derecho de (**) es menor que $\epsilon$ si $a_1 > 2/(c \epsilon)$ .