Demostrar que un anillo local es equicaracterístico si contiene un subcampo

Question

Un anillo local $(A,\mathfrak m)$ es equicaracterístico si $\operatorname{char} A=\operatorname{char} \kappa (m)$ .

Necesito pistas para resolver la siguiente pregunta:

Un anillo local es equicaracterístico si contiene un subcampo.

Answer 1

$\kappa (\mathfrak m):=A/\mathfrak m$ y $\operatorname{char} A=\operatorname{char} \kappa (m)$ si $A$ contiene un campo.

Si $A$ contiene un campo $k$ entonces tenemos $\operatorname{char} A=\operatorname{char} k$ y $k\subseteq A\to A/\mathfrak m$ Así que $\operatorname{char}A/\mathfrak m=\operatorname{char}k$ .

Si $\operatorname{char} A=\operatorname{char} \kappa(\mathfrak m)$ y $\operatorname{char} \kappa(\mathfrak m)=p>0$ entonces, obviamente $\mathbb Z/p\mathbb Z\subseteq A$ . Si $\operatorname{char} \kappa(\mathfrak m)=0$ entonces $\mathbb Z\subseteq A$ y todo entero distinto de cero sigue siendo distinto de cero en $\kappa(\mathfrak m)$ . De ello se deduce que todo número entero distinto de cero es invertible en $A$ Así que $\mathbb Q\subseteq A$ .

Answer 2

$\kappa$ se utiliza a menudo para significar " campo de residuos ". Si $R$ es un anillo y $P$ es un ideal primo de $R$ la notación $$\kappa(P)$$ significa el campo de la fracción de $R/P$ y se denomina el campo de residuos en (o de ) principal $P$ .