Intento demostrar que la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , $$ f(x) = |x|^p \quad ,\quad p \geq 1$$ es convexa. Utilizando la definición de función convexa y simplificando un poco, he llegado a la siguiente desigualdad $$ |a+b|^p \leq |a|^p+|b|^p $$ donde a y b son números reales.
Si puedo demostrar que esto es cierto, entonces $f$ es convexa. Sin embargo, estoy un poco perdido aquí. Conozco la desigualdad del triángulo, pero eso sólo lo demuestra para $p=1$ . ¿Existe una desigualdad triangular a la potencia de $p$ ? Si no es así, agradecería cualquier otra sugerencia.
