Para calcular la expectativa de una variable con un pdf dado

Question

Sea la fdp de una variable aleatoria X dada por $f(x)=ae^{-x^2-bx}, -\infty<x<\infty$ . Si $E(X)=-\frac{1}{2}$ entonces

(A) $a=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-1/4},b=1$

(B) $a=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-1/4},b=-1$

(C) $a=\sqrt{\pi}e^{-1/4},b=1$

(D) $a=\sqrt{\pi}e^{-1/4},b=-1$

Mis pasos:

$\begin{aligned} E(X) & = \displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}xf(x)\;dx=-\frac{1}{2} \\ & = \displaystyle a \int\limits_{-\infty}^{\infty}xe^{-x^2-bx}\;dx \\ & = \displaystyle ae^{b/4} \int\limits_{-\infty}^{\infty}xe^{-(x+b/2)^2}\;dx \\ & = \displaystyle ae^{b/4} \int\limits_{-\infty}^{\infty}(x+b/2)e^{-(x+b/2)^2}\;dx - \displaystyle ae^{b/4}\frac{b}{2} \int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-(x+b/2)^2}\;dx \\ \end{aligned}$

Necesito pistas para integrar la segunda parte. Por favor, aconséjeme.

Answer 1

Recordemos que una variable aleatoria distribuida normalmente $X$ con media $\mu$ y desviación típica $\sigma$ tiene la función de densidad de probabilidad $$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}, \quad -\infty < x < \infty.$$ Por lo tanto, si establecemos $\mu = -1/2$ entonces $\operatorname{E}[X] = \mu = -1/2$ como desee. Ahora escriba $$ae^{-x^2-bx} = ae^{b^2/4} e^{-x^2-bx-b^2/4} = ae^{b^2/4} e^{-(x+b/2)^2}.$$ Así que ahora buscamos una opción de $\sigma > 0$ tal que $$\frac{(x+1/2)^2}{2\sigma^2} = (x+b/2)^2,$$ y simultáneamente, $$\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} = ae^{b^2/4}.$$ Esto sugiere dejar que $b = 1$ , $\sigma = 1/\sqrt{2}$ y resolviendo para $a$ de estas opciones da $$a = \pi^{-1/2} e^{-1/4},$$ que es la opción de respuesta A.

Answer 2

Escriba a $f(x) = ae^{b^2/4}e^{-(x + b/2)^2}$ y observe que $f$ es una función de distribución normal (es de la forma $g(x) = (2\pi \sigma^2)^{-1/2}e^{-(x - \mu)^2/(2\sigma^2)}$ ). Si $\mu$ y $\sigma^2$ es la media y la varianza de $X$ respectivamente, entonces $\mu = -b/2$ . Así que desde $\mu = E(X) = -1/2$ , $b = 1$ y $f(x) = ae^{1/4}e^{-(x + 1/2)^2}$ . Ahora $2\sigma^2 = 1$ y $(2\pi \sigma^2)^{-1/2} = ae^{1/4} \implies a = \pi^{-1/2} e^{-1/4}$ . Así que la respuesta es $(A)$ .

Answer 3

Para la segunda parte, dejemos que $u = x+\dfrac{b}{2}$ entonces se integra

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2}du = \sqrt{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(u^2+v^2)}dudv}$ y esto se puede hacer con coordenadas polares dejando que $r^2=u^2+v^2, dudv = rdrd\theta$ . ¿Puede continuar?