¿Puede un functor contravariante ser adjunto a uno covariante?

Question

Estoy un poco confundido sobre la definición de functores adjuntos, ya que en todas partes las definiciones encontradas (ver ejemplo wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors ) parecen no especificar si estamos trabajando con funtores covariantes / contravariantes / sin-importar-el-tipo.

Sé que por supuesto todo funtor contravariante es esencialmente covariante - ¿basta con trabajar en la categoría opuesta? A veces esta solución no satisface completamente, sobre todo cuando tengo que hacer algún cálculo explícito.

Este es el caso de un ejercicio que estoy intentando resolver, en el que tengo que demostrar que si $F$ es adjunto por la izquierda a $G$ entonces $F$ es correcto exacto mientras que $G$ izquierda exacta (omitiré los detalles porque sé que es un resultado bien conocido).

En realidad no tuve ningún problema en hacer este ejercicio, pero supuse que $F$ y $G$ eran covariante . Mi prueba parece seguir funcionando en el caso son ambos contravariantes, pero el caso $F$ covariante + $G$ contravariante (así como para la inversa) es interesante. Aquí mi prueba parece mostrar que este caso no es possibile, lo que lleva a la siguiente conclusión:

Si $F$ y $G$ son dos functores adjuntos, ambos son contravariantes o ambos son covariantes.

¿Es cierta esta afirmación o me estoy perdiendo algo?

Gracias, señor.

Answer 1

Sea $F\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ y $G\colon\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ . sean functores (covariantes). Entonces $G$ es un adjunto a la izquierda de $F$ si existe un isomorfismo natural $$ \hom_{\mathcal{C}}(G(X),Y) \xrightarrow{\sim} \hom_{\mathcal{D}}(X,F(Y)) $$ Para los funtores contravariantes se aplica la misma definición, después de haberlos hecho covariantes. Hay dos formas de hacerlo, examinémoslas.

Por lo tanto $F\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ y $G\colon\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ sean funtores contravariantes. Podemos volver a la situación anterior considerando $$\def\op{^{\mathrm{op}}} F'\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}\op,\qquad G'\colon\mathcal{D}\op\to\mathcal{F} $$ y siendo $G'$ un adjunto a la izquierda de $F'$ significa que existe un isomorfismo natural $$ \hom_{\mathcal{C}}(G'(X),Y) \xrightarrow{\sim} \hom_{\mathcal{D}\op}(X,F'(Y)) $$ que es lo mismo que decir que hay un isomorfismo natural $$ \hom_{\mathcal{C}}(G(X),Y) \xrightarrow{\sim} \hom_{\mathcal{D}}(F(Y),X) $$ (los functores son, en este caso, adjunto a la izquierda ).

Por el contrario, podríamos considerar $$ F''\colon\mathcal{C}\op\to\mathcal{D},\qquad G''\colon\mathcal{D}\to\mathcal{F}\op $$ y, siendo $G''$ un adjunto a la izquierda de $F''$ significa que existe un isomorfismo natural $$ \hom_{\mathcal{C}\op}(G''(X),Y) \xrightarrow{\sim} \hom_{\mathcal{D}}(X,F''(Y)) $$ que es lo mismo que decir que hay un isomorfismo natural $$ \hom_{\mathcal{C}}(Y,G(X)) \xrightarrow{\sim} \hom_{\mathcal{D}}(X,F(Y)) $$ (los functores son contiguos por la derecha).

Se puede observar que, en caso de que las categorías sean abelianas, los funtores contravariantes que son adyacentes por la derecha son exactos por la izquierda; son exactos por la derecha en caso de que sean adyacentes por la izquierda. Utilizo la convención habitual de que el funtor contravariante $F$ se llama izquierda exacta si transforma la secuencia exacta $0\to A\to B\to C\to 0$ en la secuencia exacta $0\to F(C)\to F(B)\to F(A)$ .

No hay forma de emparejar de forma sensata $F\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ y $G\colon\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ si una es covariante y la otra contravariante, porque hacer que ambas sean covariantes estropea el dominio o el codominio.

Puede probar todas las posiciones de $F$ y $G$ en los conjuntos hom, pero no podrás componer mapas para definir "ser natural", mientras que esto es obviamente posible para pares de funtores covariantes o contravariantes.