Prueba $\int_0^{\infty}\frac{\ln(1+x^2)}{x^2(1+x^2)}dx=\pi\ln\big(\frac 2 e\big)$

Question

Tenía problemas con la pregunta:

Demostrar que $$I:=\int_0^{\infty}\frac{\ln(1+x^2)}{x^2(1+x^2)}dx=\pi\ln\big(\frac e 2\big)$$

Mi intento

Realizar fracciones parciales $$I=\int_0^{\infty}\frac{\ln(1+x^2)}{x^2(1+x^2)}dx=\int_0^{\infty}\frac{\ln(1+x^2)}{x^2}dx-\int_0^{\infty}\frac{\ln(1+x^2)}{1+x^2}dx=$$ Primera integral $$\int_0^{\infty}\frac{\ln(1+x^2)}{x^2}dx=-\Bigg[\frac{\ln(x^2+1)}{x}\Bigg]_0^{\infty}+\int_0^{\infty}\frac{2}{x^2+1}=\pi$$ Segunda integral $$\int_0^{\infty}\frac{\ln(1+x^2)}{1+x^2}dx=$$ ¿Cómo se resuelve esta integral? Gracias por su tiempo

Answer 1

Defina

$$J[a] = \int_0^\infty \frac{\ln(a^2+x^2)}{1+x^2}\:dx \implies J'[a] = \frac{2a}{a^2-1}\int_0^\infty \frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+a^2}\:dx$$

$$J'[a] = \frac{\pi}{1+a} \implies J[a] = \pi\ln(1+a) + C$$

Podemos ver que

$$J[0] = \int_0^\infty\frac{2\ln x}{1+x^2}\:dx = 0 = C$$

así

$$J[1] = \int_0^\infty \frac{\ln(1+x^2)}{1+x^2}dx = \pi\ln 2$$

y tenemos

$$\pi - \pi \ln 2 = \pi \ln\left(\frac{e}{2}\right)$$

Answer 2

Sea $$\int_0^{\infty} \frac{\log(1+x^2)}{1+x^2}dx= J$$ .

Sustituyendo $x=tan(\theta)$ ,

$$J=-2\int_0^{\frac{π}{2}} \log{\cos{\theta}}d{\theta}$$ .

Por lo tanto, $$J=π\log 2$$ .