Demostrar el área bajo las integrales.

Question

Tengo una duda que he estado intentando resolver y que me pica la curiosidad. Si usted tiene una función continua $f(x) = \frac1x$ .

¿Cómo probarías que $$\int_1^af(x)\,dx+\int_1^bf(x)\,dx=\int_1^{ab}f(x)\,dx$$ suponiendo que $a > 1$ y $b > a$ ?

Answer 1

Asumiremos ciertos hechos sobre las integrales que pueden no haber sido demostrados aún en su curso. Hemos $$\int_1^{ab}\frac{1}{x}\,dx=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx+\int_a^{ab}\frac{1}{x}\,dx.\tag{1}$$ Para la segunda integral, haz la sustitución $x=at$ . Entonces $dx=a\,dt$ y $$\int_a^{ab}\frac{1}{x}\,dx=\int_1^b \frac{1}{at}a\,dt=\int_1^b \frac{1}{x}\,dx.$$

Answer 2

Primero integre la función $f(x)$ .

El resultado es una función logarítmica.

Si resuelves usando esto obtendrás

$$\ln a + \ln b = \ln (ab)$$