Demostrar el área bajo las integrales.

Question

Tengo una duda que he estado intentando resolver y que me pica la curiosidad. Si usted tiene una función continua $f(x) = \frac1x$ .

¿Cómo probarías que $$\int_1^af(x)\,dx+\int_1^bf(x)\,dx=\int_1^{ab}f(x)\,dx$$ suponiendo que $a > 1$ y $b > a$ ?

Answer 1

He aquí una demostración que no utiliza logaritmos ni sustituciones, sino el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.

Por un lado, $$\frac{d}{da}\left(\int_1^af(x)\,dx+\int_1^bf(x)\,dx\right)=\frac1{a}$$

Por otro lado, $$\frac{d}{da}\int_1^{ab}f(x)\,dx=\frac{1}{ab}\cdot b=\frac{1}{a}$$

Así pues, las dos funciones de $a$ tienen la misma derivada y, por lo tanto, difieren en una constante con respecto a $a$ (que mayo dependen de $b$ ). Es decir, $$\int_1^af(x)\,dx+\int_1^bf(x)\,dx=\int_1^{ab}f(x)\,dx+C_1(b)$$ donde $C_1(b)$ es constante con respecto a $a$ .

El mismo argumento utilizando $\frac{d}{db}$ muestra $$\int_1^af(x)\,dx+\int_1^bf(x)\,dx=\int_1^{ab}f(x)\,dx+C_2(a)$$ de lo que se deduce $C_1=C_2$ es una función constante con respecto a $a$ y $b$ . Sea $a=b=1$ y concluimos que esta función constante es la función cero.

Answer 2

Para ver por qué $\ln ab = \ln a + \ln b$ observa eso: \begin{align*} \int_1^{ab} \frac{1}{x}dx &= \int_1^{a} \frac{1}{x}dx + \int_a^{ab} \frac{1}{x}dx \end{align*} Ahora para la última integral, haz la sustitución $u = x/a$ para que $du = dx/a$ dándonos: $$ \int_a^{ab} \frac{1}{x}dx = \int_1^{b} \frac{1}{au}(a \, du) = \int_1^{b} \frac{1}{u}du = \int_1^{b} \frac{1}{x}dx $$

Answer 3

El método más sencillo es simplemente resolver las integrales y ver si $LHS=RHS$ .

$$\int_1^af(x)\,dx+\int_1^bf(x)\,dx=\int_1^{ab}f(x)\,dx$$

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Prueba :

LHS:

$$\int_1^a\frac1x\,dx+\int_1^b\frac1x\,dx=\ln a-\ln1+\ln b-\ln 1=\ln a+\ln b$$

RHS:

$$\int_1^{ab}\frac1x\,dx=\ln ab-\ln1=\ln ab=\ln a +\ln b$$

Por lo tanto $$\int_1^a\frac1x\,dx+\int_1^b\frac1x\,dx=\int_1^{ab}\frac1x\,dx$$

Answer 4

Es lo mismo que intentar demostrar que

$Ln(a) + Ln(b) = Ln(ab)$

.............

Supongamos :
$x = Ln(a)$ y $y = Ln(b)$

que significa :

$a = e^x$ y $b = e^y$

Ahora multiplica :

$$ab = e^x * e^y$$

$$ab= e^{x+y}$$

Ahora introduce el logaritmo en ambos lados :

$$Ln(ab) = Ln(e^{x+y})$$

$$Ln(ab) = x + y$$

$$Ln(ab) = Ln(a) + Ln(b)$$

Answer 5

Para demostrarlo utilizando sólo la geometría, considere una transformación del área representada por $$\int_1^b\frac1x\,dx$$ donde se escala esa zona lejos de la $y$ -por un factor de $a$ y al mismo tiempo escalarlo hacia el $x$ eje por un factor de $\frac1a$ . El área de red no será diferente, pero estará en un lugar distinto. Ahora tendrá $$\int_a^{ab}\frac1x\,dx$$ y ahora está claro por qué esto se puede añadir a $\int_1^a\frac1x\,dx$ para obtener $\int_1^{ab}\frac1x\,dx$ .

(Dado que la pregunta afirma que podemos suponer $a,b>1$ Me pregunto si se pretendía algo así. Las otras pruebas funcionan bien para $a,b>0$ . Pero éste no es tan limpio para $a,b$ en $(0,1)$ ya que entrarían en juego las áreas negativas).