¿Agujero negro electromagnético?

Question

Así que estuve pensando en algo durante el último tiempo

Consideremos una gran bola esférica de espuma con densidad homogénea. Una bola de espuma se define como un objeto que puede absorber materia con 0 fricción (por ejemplo, un pozo gravitatorio sin ningún objeto en su interior). Se trata de una construcción puramente teórica.

Si la bola de espuma tiene un radio R y una carga Q. ¿Qué carga debe tener la bola de espuma para que exista una esfera u horizonte bien definido tal que cualquier objeto con carga negativa (aunque sea mínima) deba viajar más rápido que C para escapar del campo de la bola.

Aka ¿qué carga convertiría esto en un agujero negro para todos los objetos con signo opuesto en su carga?

Una vez más, asumo que la bola de espuma es una sola partícula, que no se repele a sí misma... es sólo una "cosa" homogénea muy grande con carga.

Answer 1

Tal singularidad no se produciría, si no se tiene un límite inferior en la carga negativa. En el caso de la gravedad, la singularidad se produce porque tanto la energía potencial gravitatoria como la energía cinética relativista dependen de la masa del objeto más pequeño, lo que permite dividirlas al resolver la velocidad de escape. Sin embargo, en este caso, sólo la energía potencial electromagnética, no la energía cinética, depende de la carga negativa. Esto significa que la carga negativa nunca se divide, y por lo tanto se puede disminuir arbitrariamente la magnitud de esta carga para hacer que la velocidad de escape sea tan baja como se desee.

Sin embargo, si fijas la carga negativa en algún valor $q_2$ no podrá escapar cuando su energía potencial electromagnética sea igual a su energía de reposo (hasta un signo). Así pues, basta con fijar $\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r} = mc^2$ (de nuevo, hasta el signo correcto) y resolver para $r$ .

Answer 2

Para proporcionar un tratamiento relativista coherente del problema, modelaré la "bola de espuma" mediante la métrica de Reissner-Nordström, que representa el campo gravitatorio y electromagnético relativista de un punto de eficaz masa $M$ y cobrar $Q$ . La razón por la que llamo $M$ la masa efectiva es que incluso el campo electromagnético puro lleva necesariamente algo de energía y por lo tanto se verá desde lejos como una masa gravitatoria de cierta masa $M_Q$ . No voy a discutir aquí lo que $M_Q$ debe ser y simplemente dejar $M$ como parámetro libre, en principio distinto de cero. (La única influencia en este análisis es que esto permite la existencia de un horizonte de sucesos).

También utilizaré el término horizonte de sucesos que es el horizonte habitual conocido de la relatividad general por detrás del cual ninguna partícula puede escapar, y el término "horizonte electromagnético", que sería un punto por detrás del cual una partícula de cierta carga es incapaz de escapar.

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En Reissner-Nordström métrica (en unidades geométricas) se lee $$ds^2 = -\left(1 - \frac{2 M}{r} + \frac{Q^2}{r^2}\right) dt^2 + \frac{dr^2}{1 - 2M/r + Q^2/r^2} + r^2 d\Omega^2$$ Esta solución tiene un horizonte de sucesos (horizonte para cualquier partícula) en $1 - 2M/r + Q^2/r^2 = 0$ si $M^2>Q^2$ .

El potencial electromagnético $A_\mu$ sólo tiene un componente distinto de cero que es $A_t = -Q/r$ . Una partícula de prueba cargada en este campo obedece a las ecuaciones de Hamilton generadas por el Hamiltoniano $$ H = \frac{1}{2} g^{\mu \nu} (\pi_\mu - e A_\mu)(\pi_\nu - e A_\nu)\,, $$ donde $\pi_{\mu} = m u_\mu + eA_\mu$ es el momento canónico conjugado a $x^\mu$ . Tanto el campo como la métrica son estáticos y por tanto sabemos que la energía total de la partícula $\mathcal{E}\equiv-\pi_t$ será una integral de movimiento. Las partículas en el infinito tienen una energía total mayor que $m$ , $\mathcal{E}>m$ . Es decir, una partícula que haya escapado de los pozos potenciales de los campos electromagnético y gravitatorio tendrá necesariamente una energía total mayor que su energía en reposo.

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Investiguemos ahora la condición $\mathcal{E}>m$ para una partícula en movimiento radial. Para esta partícula podemos utilizar la normalización de cuatro velocidades $g^{\mu\nu}u_\mu u_\nu = -1$ para obtener $$ u_t = -\sqrt{1 - \frac{2M}{r} +\frac{Q^2}{r^2} + \dot{r}^2}\,, $$ donde $\dot{r} = u^r = dr/d\tau$ puede alcanzar cualquier valor. (No hay violaciones de la velocidad de la luz, se puede comprobar fácilmente que $dr/dt \to 1$ como $\dot{r} \to \infty$ .)

Si ahora sustituimos esto por $\mathcal{E}>m$ obtenemos fácilmente la condición necesaria para el escape $$ m\sqrt{1 - \frac{2M}{r} +\frac{Q^2}{r^2} + \dot{r}^2} +\frac{eQ}{r} >m $$ Tenga en cuenta que si $e$ y $Q$ son de signo contrario, el $eQ/r$ término es negativo y hace que sea "más difícil" hacer $\mathcal{E}>1$ . Sin embargo, es obvio que siempre habrá valores de $\dot{r}$ para lo cual $\mathcal{E}>m$ . Estos valores son $$ \dot{r}^2 > \frac{2(M - eQ/m)}{r} + \frac{Q^2(1 + e^2/m^2)}{r^2}\,. $$ Es importante recordar que no se trata de una condición suficiente, sino necesaria. Sin embargo, demuestra que siempre es posible fijar la velocidad de la partícula de modo que adquiera una energía "no ligada".

Los dos casos en que $\mathcal{E}>m$ pero la partícula no llega al infinito son las siguientes: En primer lugar, el caso en que $\dot{r}<0$ porque corresponde a una caída radial y a una geodésica finalizando en la singularidad central nunca llegar al infinito. En segundo lugar, el caso en que $\dot{r}>0$ dentro del horizonte (si existe), y la partícula escapando entonces al exterior con $dt/d\tau<0$ En este caso, la caída radial "se reproduce al revés". En cualquier otro caso $\mathcal{E}>m$ es suficiente para el escape de partículas.

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En conclusión, el campo electromagnético no crea un "horizonte electromagnético" que impida escapar a las partículas de cierta carga. El único horizonte que pone un límite último al escape de cualquier partícula es el horizonte de sucesos. Mientras estemos fuera del horizonte de sucesos, una partícula de cualquier carga puede estar dotada de suficiente energía cinética para escapar del pozo de potencial.

Answer 3

He aquí mi respuesta a la pregunta:

Tenemos una esfera de carga $Q$ y radio $R$ . A distancia $r>R$ el potencial $V(r)$ viene dado por

$$V(r)=\frac Q {4\pi\epsilon_0 r} $$

Ahora, la energía total de la partícula X de masa m, carga -q , velocidad v viene dada por $$E=-qV(r)+\gamma m c^2 $$ donde $\gamma=\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}$ y observe que cuando $v\rightarrow c$ , $\gamma\rightarrow \infty$

Digamos que la velocidad de escape de X a una distancia r viene dada por $v_e$ y $\gamma(v_e)=\gamma_e$ .

De la conservación de la energía si X escapa \begin{align} E(r)&=E(r= \infty)=mc^2 +K.E \geqslant mc^2 \\ \implies -qV(r)+\gamma_e m c^2&= mc^2 \end{align} Esto da \begin{align} \mathrm{KE}_\mathrm{initial}&=(\gamma_e-1) m c^2=qV(r)\\ \implies \gamma_e&=\frac {qQ} {4\pi\epsilon_0 r m c^2} + 1\\ \implies v_e &=c\left(1-\frac {1} {\gamma_e^2}\right)^\frac {1} {2} \end{align} Esto muestra si $v\geqslant v_e$ entonces $\gamma\geqslant \gamma_e$ y X escapa.

Pero para obtener $\gamma$ , $v$ sólo tiene que ser más rallado que $v_e$ y también puede ser inferior a $c$ Esto demuestra que si la esfera tiene carga finita Q entonces para $v_e \leqslant v\leqslant c$ X se escapa. Por lo tanto X al igual que cualquier partícula puede escapar de cualquier $r>R$ si $v>v_e$ aunque está cargado negativamente sin ni siquiera acercarse a la velocidad de la luz. Así pues, la esfera no es un agujero negro para las partículas cargadas negativamente.

Answer 4

No estoy seguro si el OP está asumiendo que la pelota tiene masa $M$ y están considerando sus efectos gravitatorios, o si el OP sólo está considerando los efectos electromagnéticos. Si es esto último, es evidente que no existe tal radio, porque en cualquier radio finito una partícula de prueba sólo tiene una energía potencial limitada, y su energía cinética puede hacerse arbitrariamente grande sin que exceda la velocidad de la luz.

Una forma aún más fácil de ver esto es simplemente apelar al análisis dimensional; cualquier radio de este tipo tendría que ser igual a $R$ veces una función de cocientes adimensionales de las restantes magnitudes relevantes $Q$ y $c$ pero no existe tal relación adimensional. Así que si el radio existiera, tendría que ser independiente de $Q$ y ajuste $Q = 0$ vemos claramente que no puede existir.

Answer 5

Aparte de todo lo dicho por los demás me gustaría establecer el marco teórico para una solución generalizada (cualquier velocidad, cualquier masa, cualquier carga, cualquier distancia, siempre que las "bolas" no caigan en una singularidad).

Hay dos maneras de ver este problema.

Lo más fácil es elegir relatividad especial si las masas de las cargas son relativamente pequeñas, en cuyo caso podemos despreciar los efectos gravitatorios. En tal situación podemos utilizar

$$ \frac{d(m_{0}U^\mu)}{d\tau} = - e (F'')^\mu_\nu U^\nu $$

con $$ (F'')^\mu_\nu = \Lambda^\mu_\alpha(-v_{rcv}) \Lambda_\nu^\beta(-v_{rcv}) (F')^\alpha_\beta $$ y $$ (F')^\mu_\nu = \Lambda^\mu_\alpha(v_{src}) \Lambda_\nu^\beta(v_{src}) F^\alpha_\beta $$ (para el resto de ecuaciones, qué es cada una, cómo combinarlas, véase aquí )

Usamos esta ecuación para cada una de las bolas de espuma, y luego resolvemos (usando posiciones retardadas) "órbitas" a velocidades cercanas a la de la luz.
Variamos $q_1$ , $q_2$ dibujar gráficos, deducir lo que ocurre.
Por supuesto, tenemos que definir algunas condiciones de borde (superficie), que son muy importantes porque definen lo que sucede cuando las 2 bolas chocan.
¿Se dispersarán? ¿Se combinarán? ¿Se combinarán para formar un nuevo tipo de materia? ¿Se aniquilarán para crear muchas ondas EM u otro tipo de radiación?
Por ello es muy importante tener la definición adecuada de lo que hay bajo la superficie exterior de la pelota.
Simplemente suponiendo que es sólo una singularidad bajo la superficie exterior puede estar en desacuerdo cuando se llegó a comparar con los experimentos de la vida real.

La otra forma es utilizar relatividad general .
Aquí podríamos tomar dos caminos.
La más simple es suponer que una de las bolas tiene la carga y la masa mucho más pequeña que la otra : $m_1 >> m_2$ y $q_1 >> q_2$ .

Para tal caso @Void proporcionó aquí una respuesta en el marco de la métrica de Reissner-Nordström, pero intentaré responder desde una perspectiva un poco diferente la de la teoría de los puentes .

Einstein derivó la métrica en caso de simetría esférica para electricidad y gravedad combinadas de forma un poco diferente; eligió el signo del tensor de energía de tal forma que resolviendo las ecuaciones de campo obtenemos la métrica $g_{\mu\nu}$ :

$$ ds^2 = (1 - \frac{2m}{r} - \frac{q^2}{2r^2}) dt^2 - \frac{1}{1 - \frac{2m}{r} - \frac{q^2}{2r^2}}dr^2 - r^2(d\theta^2 + \sin^2{\theta} d\phi^2) $$

Por tanto, para dicha métrica, el horizonte de sucesos se definirá en $$\left(1 - \frac{2m}{r} - \frac{q^2}{2r^2} \right) = 0$$ Esto significa que incluso sin la ayuda de la masa podemos obtener un horizonte de sucesos.
Dado que utilizamos el cuadrado de la carga implica que no importa qué signo tiene la carga.
Para ello utilizando el análisis tradicional de agujeros negros llegaremos a la conclusión de que cualquier cosa que pase el horizonte de sucesos no tendrá forma de salir, por muy cerca de la velocidad de la luz que vayamos.

Por otro lado Einstein sugirió un cambio de variable que nos ayudaría a librarnos de la singularidad del horizonte de sucesos.

El primer paso sería elegir $u^2 = r^2 - \frac{q^2}{2}$ masa fijada $m = 0$ y luego aplicarlo a la métrica para obtener:

$$ ds^2 = - du^2 - \left(u^2 + \frac{q^2}{2} \right) \left(d\theta^2 + \sin^2{\theta} d\phi^2 \right) + \frac{2u^2}{2u^2+q^2} dt^2 $$

Así que como podemos ver si $u$ varía de $-\infty$ a $+\infty$ pero $r$ sólo tendrá valores positivos entre $\sqrt{\frac{q^2}{2}}$ y $+\infty$ . Nuestra bola más pequeña se moverá de una hoja de espaciotiempo a otra.

La última forma y la más complicada pero que dará respuestas para casos generales, no importa lo grandes/pequeñas, cuántas, lo rápidas/lentas que sean las "bolas".

Tenemos $p$ singularidades. Encerramos cada singularidad denotada por $s$ en una superficie cerrada.

$$ \int^s{(\Phi_{\mu k} + 2 \Lambda_{\mu k}) \cos{(x^k \cdot N)} dS } = 0$$

Asignamos a cada singularidad $s$ la posición $\overset{s}{\xi}$ con $\xi^k(x^0)$ siendo en realidad un 3-vector.

Una distancia de $s$ singularidad se define como: $$ \overset{s}{r}^2 = (x^1 - \overset{s}{\xi}^1)^2 + (x^2 - \overset{s}{\xi}^2)^2 + (x^3 - \overset{s}{\xi}^3)^2 $$

Las ecuaciones de campo generalizadas son: $$ \Phi_{\mu \nu} + 2 \Lambda_{\mu \nu} = C_{\mu \nu} $$

donde

$$ C_{mn} = - \sum^p_{s=1}{\left( \left(\frac{\overset{s}{C}_m}{\overset{s}{r}} \right)_{,n} + \left(\frac{\overset{s}{C}_n}{\overset{s}{r}} \right)_{,m} - \delta_{mn}\left(\frac{\overset{s}{C}_k}{\overset{s}{r}} \right)_{,k} \right)} $$

$$ C_{00} = - \sum^p_{s=1}{\left(\frac{\overset{s}{C}_k}{\overset{s}{r}} \right)_{,k}}$$

$$ C_{0n} = - \sum^p_{s=1}{\left(\frac{\overset{s}{C}_0}{\overset{s}{r}} \right)_{,n} + \left(\frac{\overset{s}{C}_n}{\overset{s}{r}} \right)_{,0} }$$

teniendo $$ \overset{s}{C}_{m} = \frac{1}{4\pi} \int^s{ 2 \Lambda_{mn} \cos{(x^n \cdot N)} dS }$$ $$ \overset{s}{C}_{0} - \frac{1}{3}\overset{s}{C}_{k}\overset{s}{\dot{\xi^k}} = \frac{1}{4\pi} \int^s{ 2 \Lambda_{on} \cos{(x^n \cdot N)} dS }$$

Ahora podemos aplicar un método de aproximación como el definido aquí y como se indica aquí podemos usar esto para partículas cargadas en campo electromagnético.

Ahora queremos encontrar la distancia para la cual las dos singularidades se vuelven inseparables, en el sentido de que ninguna de ellas puede salir de esa distancia.
Lo llamamos horizonte de sucesos (si es que existe). $ r_H(x^0_j) = \sqrt{(\overset{i}{\eta^k} - \overset{s}{\xi^k})(\overset{i}{\eta^k} - \overset{s}{\xi^k})} $ tal que $ r_H(x^0_c) \le r_H(x^0_j) $ para todos $ x^0_c > x^0_j$ (aquí $x^0$ es obviamente el componente temporal).
Por lo tanto, buscamos un campo que sea el máximo de $|C_{\mu\nu}|$ .
Simplificando los supuestos o utilizando distintos métodos de aproximación adecuados a cada etapa, podríamos llegar a una respuesta, o bien montar un superordenador y esperar a obtener un resultado.

Hay una nota más. Para generalizar realmente necesitamos considerar la influencia de todos los demás campos de toda la energía del universo ( $10^{53}$ Kg), que como resulta, se manifestará a distancias muy pequeñas en forma de efecto Casimir de alcance cósmico o energía/entrelazamiento del vacío, teniendo valores e influencias en el rango $ \Delta x \Delta p = h/2$ . Si estas influencias son pequeñas en comparación con los campos locales podemos confiar en nuestro resultado por tener observación experimental, podemos predecir lo mismo que los experimentos.