Distribución del máximo de muestras con sustitución

Question

Supongamos que tenemos un conjunto de números $\{1,2,...,m\}$ donde $m \ge 5$ . Ahora elige al azar cinco de esos elementos con sustitución, $\text{a}_1$ ... $\text{a}_5$ .

¿Cuál es la distribución de max( $\text{a}_1$ , $\text{a}_2$ , $\text{a}_3$ , $\text{a}_4$ , $\text{a}_5$ )?

Answer 1

Sea X = max(A1,A2,A3,A4,A5). Es decir $Pr(X <= x) = Pr(A1<=x, A2 <= x, A3 <= x, A4 <= x, A5<x) = Pr(A1<=x)Pr(A2<=x)Pr(A3<=x)Pr(A4<=x)Pr(A5<=5)$ (por independencia).

Es decir $Pr(max(A1,A2,A3,A4,A5) <= x) = Pr(A_i <= x)^5$ .

Answer 2

Parecen deberes. Así que sólo una pista: calcular la función de distribución acumulativa $$F_{X}(x) = P(X \leq x)$$ siendo X el máximo de tus cinco empates. Empieza con $x = m$ que es la probabilidad de que ninguno de tus cinco empates sea $m$ . Cuando se tiene la función de distribución acumulativa es sencillo obtener la distribución.