Encontrar el MVUE de $1-e^{-2\theta}$

Question

Me hacen la siguiente pregunta y tengo que elegir una de las cuatro respuestas posibles:

Sea $X_1$ sea una muestra de tamaño $n=1$ de una distribución cuya f.d.p. es: $$ f(x;\theta)=\theta e^{- \theta x} \mathbb{1}_{(0, +\infty )} (x)$$ Entonces, un MVUE de $1-e^{-2\theta}$ es:

1. $\mathbb{1}_{(2,+\infty)}(X_1)$
2. $X_1$
3. $1-e^{-X_1}$
4. $\mathbb{1}_{(0,2)}(X_1)$

Dónde para $\mathbb{1}$ uno pretende la función indicadora. Sé cómo encontrar un MVUE, pero no entiendo el punto de evaluar un MVUE de algo sin el término X.

Gracias de antemano.

Answer 1

Entre estas cuatro opciones, sólo (4) es un estimador insesgado de $1 - e^{-2\theta}$ (es fácil de comprobar). Por el teorema de Lehmann-Scheffe, también es la UMVUE porque $n = 1$ .