El signo de la derivada de segundo orden

Question

Supongamos que conocemos el signo de $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ y $ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$ en un dominio específico. ¿Podemos decir que el signo de $ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}$ es básicamente el producto de los signos de las derivadas de primer orden?

Ejemplo: $f(x,y)=\frac{1}{x y}$ : $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\leq 0$ y $ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\leq 0$ y $ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}\geq 0$ para todos $x\geq 0$ y $y\geq 0$ .

Si esto es correcto, ¿tiene alguna fuente? Mis intentos de búsqueda no me han dado nada :-(

Muchas gracias.

Answer 1

Un contraejemplo sencillo lo proporciona una función $f(x,y)=xy$ en un dominio en el que $x<0<y$ . Entonces $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=y>0$ , $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=x<0$ mientras que $\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\partial y}=1>0$ .

Answer 2

Tu ejemplo funciona por otra razón: $f(x,y)=g(x)h(y)$ donde $g'(x)<0$ y $h'(y)<0,$ por lo que el parcial mixto tiene signo $(-1)(-1)=1.$ En el caso de funciones de la forma $f(x,y)=g(x)h(y),$ vas por buen camino porque $$\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y} = g'(x)h'(y),$$ mientras que $$\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y}= g(x)h(y)g'(x)h'(y),$$ que tiene el mismo signo que $g'(x)h'(y)$ si $g(x)$ y $h(y)$ tener el mismo signo en su dominio. Pero nótese que los dominios hacen que la conjetura siga siendo falsa en general (¡véase la respuesta de Alex!). Así que, desgraciadamente, la conjetura no está ni cerca de ser cierta, aunque el dominio sea tal que $f(x,y)$ es positivo. Por ejemplo $f(x,y)=\sin(xy)$ en $0<x,y\le \sqrt{\pi}$ (para que $0< xy\le \pi$ ). Tiene que $$\frac{\partial f}{\partial x}=y\cos(xy), \frac{\partial f}{\partial x}=x\cos(xy), \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=-xy\sin(xy).$$

El signo de $f_{xy}=-xy\sin(xy)$ es el mismo que el signo de $-\sin(xy)$ en nuestro dominio: siempre es negativo. Sin embargo, $f_x=-y\cos(xy)$ y $f_y=-x\cos(xy)$ tienen el mismo signo que $-\cos(xy),$ que puede ser positivo o negativo. En ambos casos $f_x\cdot f_y $ es siempre positivo y tiene el mismo signo que $\cos^2(xy)$ en nuestro dominio.