Encontrar el Lim $a_n$ En $a_{n+1}=1+\sqrt{6+a_n}$

Question

Que haya $a_{n+1}=1+\sqrt{6+a_n}$ , $a_1=3$
Así pues, los primeros elementos son $a_1=3$ , $a_2=1+\sqrt{6+3}=4$ , $a_3=1+\sqrt{10}$ , $a_4=1+\sqrt{6+1+\sqrt{10}}$ . Con la inducción Es fácil ver que la secuencia monotónicamente creciente, Lo que queda es demostrar que como un límite superior.
¿Cómo puedo adivinar cuál es el límite (respuesta:10)?

Answer 1

Sugerencia: el posible valor del límite verifica (¿por qué?) $$a=1+\sqrt{6+a}$$ Relación entre $a$ y los límites superiores de la secuencia?

Answer 2

Podemos usar la inducción para demostrar que la secuencia es monotónicamente creciente, como has dicho, así que no me extenderé. Para demostrar que está acotada por encima, observa que $a_1<5$ . Entonces, si $a_n < 5$ para algunos $n\ge 1$ , $$ a_{n+1}=1+\sqrt{6+a_n}\le1+\sqrt{6+5}=1+\sqrt{11}<5,$$ por lo que se deduce por inducción que $a_n<5$ para todos $n$ . Por lo tanto $\lim_{n\to\infty} a_n$ existe; llámelo $a$ . Entonces resolviendo $a=1+\sqrt{6+a}$ para $a$ encontramos que $$a=\frac12(3\pm\sqrt{29}).$$ Desde $a_1>0$ y $a_n$ es monotónicamente creciente, $a$ no puede ser negativo, por lo que la respuesta correcta es $\frac12(3+\sqrt{29})$ .

Answer 3

La clave para resolver todos estos problemas es la siguiente: si el límite existe, digamos, $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L$ entonces $\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=L$ . Así que dejar que $n\rightarrow\infty$ en su problema le da una ecuación con $L$ en ambos lados que tienes que resolver.