Estructura de grupos en CP^infinty

Question

Me inspiré en la siguiente pregunta de orales de topología algebraica:

"Is $S^1$ el espacio de bucle de otro espacio?"

Esto es fácil de ver si se reconoce que $S^1$ es un $K(\mathbb{Z},1)$ y el espacio de bucles de cualquier $K(G,n)$ es un $K(G,n-1)$ .

Entonces recordé también que el functor de espacios de bucles es un functor de espacios topológicos puntiformes y mapas continuos a la categoría de espacios H y homomorfismos continuos. Los espacios H son espacios topológicos que satisfacen los axiomas de un grupo hasta la homotopía (véase Spanier, capítulo 1, sección 5).

Tengo tres preguntas:

1. ¿Existe algún criterio útil para determinar cuándo un espacio H es realmente un grupo topológico?
2. Viendo que $S^1$ , $S^3$ y $S^7$ son las únicas esferas que soportan estructuras de grupo, no parece casual que $S^1$ es un espacio de bucles, porque de hecho es un espacio H. Dado que $CP^{\infty}$ es el espacio de bucles de $K(Z,3)$ también es un espacio H, pero ¿se sabe si es un grupo topológico?
3. Aunque no sea así, ¿hay alguna forma (que no sea la concatenación de bucles) de "ver" esta estructura en $CP^{\infty}$ ?

Gracias.

Answer 1

He aquí una respuesta parcial a la pregunta 1: la condición necesaria y suficiente para que un espacio (suficientemente razonable, digamos un complejo CW) sea homotópicamente equivalente a un grupo topológico es que tenga el tipo homotópico de un espacio de bucles, o, en otras palabras, que admita una estructura de tipo $A_\infty$ -espacio. La necesidad es evidente. Por otra parte, si $X=\Omega Y$ entonces Milnor construye en "La construcción de los haces universales I", sección 3, un grupo $G(Y)$ con el mismo tipo de homotopía que $X$ . La construcción es la siguiente (suponemos $Y$ sea un poliedro): tome el subconjunto de la unión disjunta de $Y^n,n\geq 1$ formado por todas las secuencias tales que dos elementos consecutivos cualesquiera están en el mismo simplex y el primer y el último elemento son el punto base, y tomar el cociente de este subconjunto con respecto a la relación de equivalencia generada por $(x_1,\ldots,x,x,\ldots x_n)\sim (x_1,\ldots,x,\ldots,x_n)$ y $(x_1,\ldots,x,y,x,\ldots x_n)\sim (x_1,\ldots,x\ldots,x_n)$ el producto es el producto de concatenación.

He aquí algunas observaciones:

1. Lo anterior es algo (pero no del todo) similar a lo que ocurre cuando se "estriñe" una $A_\infty$ álgebra tomando la construcción cobar de la construcción de la barra.

2. Un espacio H $X$ puede tener varios productos no homotópicos. Éstos son uno a uno con $[X\wedge X,X]$ véase, por ejemplo, Stasheff, H-spaces from a homotopy point of view, p.11, LNM 161 (que también contiene referencias útiles a trabajos anteriores).

Answer 2

He aquí algunas reflexiones sobre sus preguntas.

1. Véase la respuesta de algori. (Por cierto, el paso "la necesidad es clara" se debe a que si $G$ es un grupo topológico entonces tiene un espacio clasificador y entonces $G \simeq \Omega B G$ por lo que es homotópicamente equivalente a un espacio de bucles).

2. Para $CP^\infty$ aquí hay una construcción que lo convierte en un grupo topológico. Tomemos el grupo unitario en un espacio de Hilbert, $U(H)$ . Esto es contractible por el teorema de Kuiper ( MR0179792 ). El centro de este grupo es el círculo, $S^1$ actuando mediante operadores diagonales. Como esto es normal, el cociente $PU(H) = U(H)/S^1$ es un grupo topológico. Dado que $U(H)$ es contractible, se trata de un $K(\mathbb{Z},2)$ y por lo tanto "es" $CP^\infty$ .

3. La estructura de grupo en $CP^\infty$ puede verse de una forma agradable utilizando el hecho de que $CP^\infty$ representa $H^2(-,\mathbb{Z})$ y que $H^2(-,\mathbb{Z})$ clasifica los haces de líneas complejas. Ambas visiones de $[-,CP^\infty]$ tienen estructuras de grupos obvias: para $H^2(-,\mathbb{Z})$ es la suma, mientras que para los haces lineales complejos viene dada por el producto tensorial (la operación inversa es la conjugación compleja). (Por cierto, estas dos operaciones de grupo son la misma operación bajo la correspondencia). Como se trata de operaciones naturales, se representan mediante una estructura de grupo en el espacio de representación, lo que hace que $CP^\infty$ un objeto de grupo en el $hTop$ . Que esta es la estructura de grupo "correcta" (aka, la que viene de $CP^\infty \simeq K(\mathbb{Z},2) \simeq \Omega K(\mathbb{Z},3)$ ) se desprende claramente de la caracterización de $CP^\infty$ como espacio de representación de $H^2(-,\mathbb{Z})$ . La equivalencia $CP^\infty \simeq \Omega K(\mathbb{Z},3)$ proviene del isomorfismo de suspensión, $H^2(-,\mathbb{Z}) \cong H^3(\Sigma -, \mathbb{Z})$ que es aditivo y, por tanto, preserva las estructuras de grupo en los espacios representativos.

Answer 3

Creo que es agradable ver una estructura de grupo que es explícitamente holomorfa. Espero que lo siguiente sea correcto:

Toma $\mathbb{C}(t)^{\times}/\mathbb{C}^{\times}$ . Esto tiene una estructura de grupo. Digamos que consideramos el producto de $\sum_{i=a}^{b} x_{i}t^{i}$ y $\sum_{j=c}^{d}y_{j}t^{j}$ . Es $\sum_{k=a+c}^{b+d}(\sum_{\{(i,j)|i+j=k\}}x_{i}y_{j})t^{k}$ . Esto da algún mapa de $\mathbb{C}\mathbb{P}^{a-b-1}\times \mathbb{C}\mathbb{P}^{c-d-1} \to \mathbb{C}\mathbb{P}^{a+c-b-d-1}$ y la estructura del grupo en $\mathbb{C}\mathbb{P}^{\infty}$ es el límite de estos mapas.

Answer 4

(Re: 2 y 3)

Desde $\operatorname{Sym}^n\mathbb CP^1=\mathbb CP^n$ ("por las fórmulas de Viète"), $\mathbb CP^\infty$ es el monoide abeliano libre generado por $\mathbb CP^1=S^2$ (con algún punto fijo como unidad). (Esta es exactamente la operación que "representa" el producto tensorial de $U(1)$ -bundles aka adición en $H^2$ en $[-,\mathbb CP^\infty]=\operatorname{Bun}_{U(1)}(-)=H^2(-;\mathbb Z)$ - cf. otras respuestas).

Desgraciadamente, esta operación carece de (sticto) inverso. Pero por el teorema de Dold-Thom $\widetilde{\mathbb Z[S^2]}:=\mathbb Z[S^2]/\mathbb Z[pt]$ (el grupo abeliano libre generado por $S^2$ con algún punto (fijo) como unidad) tiene tipo homotópico de $K(\mathbb Z,2)$ . Además, el mapa natural $\mathbb CP^\infty=\operatorname{Sym}^\infty(S^2)\to\widetilde{\mathbb Z[S^2]}$ es una equivalencia homotópica.

(Y cualquier $K(G,n)$ puede convertirse en un grupo topológico abeliano de forma análoga: $\widetilde{G[S^n]}$ tiene el tipo homotópico deseado).

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