Integrales de tres armónicos esféricos y potencias de funciones trigonométricas

Question

¿Alguien sabe cómo evaluar integrales de la siguiente forma? $$\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} (\cos{\phi})^{n_1} (\sin{\phi})^{n_2} (\cos{\theta})^{n_3} (\sin{\theta})^{n_4}Y^m_l Y^p_q Y^i_j \sin{\theta}\; d\phi\; d\theta.$$

Dónde $Y_l^m$ es el armónico esférico de grado $l$ y orden $m$ . Los símbolos símbolos $n_1$ , $n_2$ , $n_3$ , $n_4$ $l$ , $m$ , $q$ , $p$ , $i$ y $j$ son enteros. Para cualquier combinación dada de estos enteros no es difícil evaluar la integral, pero necesito encontrar todos los resultados para un gran número de valores diferentes de estos enteros. Tantos que incluso herramientas como Mathematica se vuelven demasiado lentas.

Mi idea actual es hacer algún tipo de criterio de selección para cuando la integral debe ser cero, basándome en consideraciones de simetría, y luego evaluar las integrales no nulas con ayuda de Mathematica. Sin embargo, si alguien conoce algún resultado que simplifique mis esfuerzos sería estupendo.

Answer 1

Estamos resolviendo la integral:

$$I=\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} (\cos{\phi})^{n_1}(\sin{\phi})^{n_2}(\cos{\theta})^{n_3}(\sin{\theta})^{n_4}Y^u_p Y^v_q Y^w_r \sin{\theta}\, d\phi\, d\theta.$$

Debido a la naturaleza de los armónicos esféricos, que pueden escribirse como un producto de polinomios de Legendre asociados y una exponencial :

$$Y_l^m(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\cdot\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_l^m(\cos\theta)e^{im\phi},$$

puedes dividir la integral en dos partes:

$$\Phi(n_1,n_2,u+v+w)=\int_0^{2\pi}(\cos\phi)^{n_1} (\sin\phi)^{n_2} e^{i(u+v+w)\phi}d\phi,$$

$$\Theta(n_3,n_4,p,q,r,u,v,w)=\int^1_{-1} x^{n_3}(1-x^2)^\frac{n_4}{2} P_p^u(x)P_q^v(x)P_r^w(x)dx.$$

La primera integral $\Phi$ puede resolverse convirtiendo el coseno y el seno a su forma exponencial y utilizando el teorema del Binomio y teniendo en cuenta que

$$\int_0^{2\pi} e^{im\phi}d\phi=2\pi\delta_{m,0}.$$

Así,

$$\Phi(n_1,n_2,m)=\frac{2\pi}{2^{n_1+n_2}i^{n_2}}\sum_{k_1=0}^{n_1}\sum_{k_2=0}^{n_2}(-1)^{n_2-k_2}\binom{n_1}{k_1}\binom{n_2}{k_2}\delta_{n_1+n_2-m,2(k_1+k_2)}.$$

Así obtendrá sus primeras reglas de selección:

• si $n_1+n_2-m$ es impar, entonces $\Phi=0$ ,
• si $n_1+n_2-m<0$ entonces $\Phi=0$ ,
• si $-m > n_1+n_2$ entonces $\Phi=0$ .

Para resolver la integral de $\Theta$ deberías intentar reducirlo a la forma ..:

$$\int^1_{-1}P_p^u(x)P_q^v(x)P_r^w(x)dx,$$

que tiene una expresión de forma cerrada. Está relacionada con los coeficientes de 3j-símbolos/Clebsch-Gordan y se conoce como fórmula de Gaunt (véase Dong S.H., Lemus R., (2002), "The overlap integral of three associated Legendre polynomials", Appl. Math. Lett. 15, 541-546.).

La integral de $\Theta$ puede reducirse a esta forma utilizando las relaciones de recurrencia de los polinomios de Legendre asociados:

$$ P_{l-1}^m(x) - P_{l+1}^m(x) = (2l+1)\sqrt{1-x^2}P_l^{m-1}(x)$$

$$ (2l+1)xP_l^m(x) = (l-m+1)P^m_{l+1}(x)+(l+m)P^m_{l-1}(x)$$