¿Alguien sabe cómo evaluar integrales de la siguiente forma? $$\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} (\cos{\phi})^{n_1} (\sin{\phi})^{n_2} (\cos{\theta})^{n_3} (\sin{\theta})^{n_4}Y^m_l Y^p_q Y^i_j \sin{\theta}\; d\phi\; d\theta.$$
Dónde $Y_l^m$ es el armónico esférico de grado $l$ y orden $m$ . Los símbolos símbolos $n_1$ , $n_2$ , $n_3$ , $n_4$ $l$ , $m$ , $q$ , $p$ , $i$ y $j$ son enteros. Para cualquier combinación dada de estos enteros no es difícil evaluar la integral, pero necesito encontrar todos los resultados para un gran número de valores diferentes de estos enteros. Tantos que incluso herramientas como Mathematica se vuelven demasiado lentas.
Mi idea actual es hacer algún tipo de criterio de selección para cuando la integral debe ser cero, basándome en consideraciones de simetría, y luego evaluar las integrales no nulas con ayuda de Mathematica. Sin embargo, si alguien conoce algún resultado que simplifique mis esfuerzos sería estupendo.