Desigualdad $a^2+4b^2<1$ .

Question

Sea $a,b$ sean dos números reales estrictamente positivos que satisfagan $a^3+b^3=a-b$ . ¿Cómo puedo demostrar que $a^2+4b^2<1$ ?

Así que porque $a^3+b^3$ es $>0$ Sé que $a>b$ .

Intenté usar $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ pero eso no me llevó a ninguna parte...

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\frac {a^3+b^3 } { a-b}=1 $$

Demostramos que $$a^2 +4b^2 <\frac {a^3+b^3 } { a-b}$$

Desde $a-b$ es positivo podemos multiplicar ambos lados por $a-b$ para obtener $$(a^2+4b^2)(a-b)< a^3+b^3$$ Tras simplificar ambos lados obtenemos $$a^2-4ab+5b^2>0$$ Es lo mismo que $$(a-2b)^2+b^2 >0$$ lo cual es cierto.

Answer 2

He aquí un método menos ingenioso (pero que siempre funciona):
Maximicemos $F(x,y)=x^2+4y^2$ bajo las restricciones $x,y\ge 0$ y $x^3+y^3-x+y=0$ utilizando Multiplicadores de Lagrange. Sea $f(x,y,\lambda)=F(x,y)+\lambda(x^3+y^3-x+y),$ entonces $$\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x+3\lambda x^2-\lambda,\,\,\,\,\,\,\dfrac{\partial f}{\partial y}=8x+3\lambda y^2+\lambda ,\,\,\,\,\,\,\dfrac{\partial f}{\partial\lambda}=x^3+y^3-x+y$$ y obtenemos un sistema de ecuaciones altamente no lineal. Con la ayuda de wolframalpha podemos tener soluciones aproximadas muy exactas (las soluciones exactas son un poco complicadas). Ahora para $$x\approx 0.9725956862081514773 ,\,\,\,\,\,\, y\approx 0.0524320766715842$$ obtenemos $$F(x,y)\approx 0.95693885948708459008$$ que es una muy buena aproximación del máximo de $F.$