He actualizado considerablemente, con mi solución completa. Se agradecen los comentarios.
Supongamos que $f$ es una función medible no negativa y $\int f d\mu < \infty.$ Sea $$h(w)=\begin{cases}f(w) \ \ \ \text{if} \ \ f(w)\in \mathbb{R} \\ \\ 0 \ \ \ \text{if} \ \ \ f(w)=\infty\end{cases}$$ Demuestre que $h$ es medible y $\int f d\mu = \int h d\mu.$
Intento:
Supongamos que $\int f d\mu < \infty.$ Sea $A_1 = \{w \in \Omega:f(w)\neq h(w)\}$ y $A_2 = \{w \in \Omega:f(w) = h(w)\}.$ Entonces $A_1$ y $A_2$ forman una partición finita medible de $\Omega$ . Así que
$$\infty>\int f d \mu=\sup\sum\limits_{i=1}^2\left[\inf\limits_{w \in A_i} f(w)\right]\mu(A_i) \geq \sup\left[\inf\limits_{w \in A_1} f(w)\right]\mu(A_1).$$
Así que $\sup\left[\inf\limits_{w \in A_1} f(w)\right]\mu(A_1)<\infty.$ Pero $f(w)=\infty$ para $w \in A_1$ . Así que $\inf\limits_{w \in A_1}f(w)=\infty.$
Así que $\mu(A_1)$ debe ser $0$ .
Por el resultado que $$\int f d \mu<\infty \Rightarrow f \text{ is finite a.e.} \iff \mu\left(\{w \in \Omega:f(w)=\infty\}\right)=0,$$ tenemos que $f$ es finito a.e. y por tanto $f=h$ a.e.
Reclamación: $h$ es medible.
Prueba: $\forall \alpha \geq 0, \{w:h(w)>\alpha\}=\{w:f(w)>\alpha, w \in \mathbb{R}\}.$ Así $\{w:h(w)>\alpha\}$ es medible para $\alpha \geq 0$ .
$\forall \alpha < 0, \{w:h(w)>\alpha\}=\{w:f(w)>\alpha, w \in \mathbb{R}\} \cup \{w:w \notin \mathbb{R}\}.$ Sin embargo, el primer término de la derecha es medible (porque $f$ es medible), y el segundo término es $w \in \mathbb{R}^c$ que es $\varnothing$ que es medible. Por lo tanto $\{w:h(w)>\alpha\}$ es medible para $\alpha < 0$ .
Así $h$ es medible.
Por un hecho previo que $f=0$ a.e. si $\int f d \mu=0$ tenemos que $f=h$ a.e. implica $f-h=0$ a.e. implica $\int(f-h)d \mu=0.$ Por lo tanto $\int f d\mu=\int h d\mu.$
¿Está bien el trabajo anterior?
