Sea $p$ y $q$ son los números complejos que representan $P$ y $Q$ . Desde $P$ y $Q$ se encuentran en el círculo $\lvert w\rvert = r$ sostiene $\lvert p\rvert = \lvert q\rvert = r$ que puede escribirse como $p\bar{p} = q\bar{q} = r^2$ (ya que $z\bar{z} = \lvert z\rvert^2$ para cada número complejo $z$ ).
Ahora queremos encontrar la ecuación de la tangente en $P$ . Sea $X$ sea un punto arbitrario del plano y $x$ el número complejo que representa $X$ . Además $O$ sea el origen. $X$ pertenece a la tangente si $OP \perp PX$ es decir, si $$\begin{align*} & \Re\left(\frac{x - p}{p - 0}\right) = 0 \\ \iff & \frac{x - p}{p} = -\overline{\frac{x - p}{p}} = -\frac{\bar{x} - \bar{p}}{\bar{p}} = -\frac{\bar{x} - \frac{r^2}{p}}{\frac{r^2}{p}} = \frac{r^2 - p\bar{x}}{r^2} \\ \iff & r^2x + p^2\bar{x} - 2pr^2 = 0 \tag{1} \end{align*}$$ Así que $(1)$ es la ecuación que buscábamos.
De forma similar obtenemos que la ecuación de la tangente en $Q$ es $$r^2x + q^2\bar{x} - 2qr^2 = 0 \tag{2}$$
Ahora, para determinar la intersección de las dos tangentes, basta con resolver para $x$ (y $\bar{x}$ ) el sistema dado por $(1)$ y $(2)$ . Restag $(2)$ de $(1)$ da $(p^2 - q^2)\bar{x} - 2r^2(p - q) = 0$ que, anulando un factor $p - q \ne 0$ se convierte en $(p + q)\bar{x} - 2r^2 = 0$ de donde $\displaystyle \bar{x} = \frac{2r^2}{p + q}$ . Subtitución en $(1)$ finalmente da $$x = 2p - \frac{p^2\bar{x}}{r^2} = 2p - \frac{2p^2}{p + q} = \boxed{\frac{2pq}{p + q}}$$
Edición: Ok, acabo de leer que en realidad $p$ y $q$ ya estaban definidos como $w_1$ y $w_2$ ...
