Sea $M^3$ sea una compacta $3$ -tal que $\pi_1(M)$ contiene un subgrupo normal isomorfo a $\mathbb Z$ .
¿Podemos mostrar $\pi_1(M)$ está libre de torsión o $\pi_1(M)=\mathbb Z \oplus \mathbb Z_2$ o $\mathbb Z_2 * \mathbb Z_2$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La respuesta es "no" (véase un ejemplo a continuación), pero casi es "sí". Si $M$ no tiene ninguna componente límite en el plano proyectivo real, esto se deduce del Teorema 7 del documento Estudio sobre la conjetura del espacio de fibras de Seifert por Jean-Philippe Préaux.
En general, hay que entender los "espacios Seifert módulo $\mathbb{P}$ "presentado por Heil y Whitten. (Es la primera vez que he tenido que pensar en esto: ¡la vida es más sencilla cuando suponemos orientabilidad!). Véanse las referencias en el estudio mencionado.
He aquí el ejemplo prometido. Consideremos los tres toros $T = \mathbb{R}^3 / \mathbb{Z}^3$ . Hay un $\mathbb{Z}_2$ acción a través del "mapa antipodal" $\tau$ que actúa como negación en todas las coordenadas. Obsérvese que el conjunto de puntos fijos de $\tau$ es $P = \{(0,0,0), (1/2, 0, 0), \ldots, (1/2, 1/2, 1/2)\}$ . Sea $T' = T / \tau$ . Así que $T'$ no es un tres-manifold, debido a los puntos del orbifold en $P'$ la imagen de $P$ . Si eliminamos las pequeñas vecindades de todos los puntos de $P'$ obtenemos una colector de tres $T''$ que tiene grupo fundamental $\mathbb{Z}^3 \rtimes \mathbb{Z}_2$ . Así que (tristemente), el grupo fundmental no es ni libre de torsión ni uno de los grupos deseados.
