$S$ es abeliano si $xy=y^nx^n$ .

Question

Supongamos que $S$ es semigrupo y $n\in\Bbb N$ es fijo. Si tenemos $xy=y^nx^n$ para cada $x,y\in S$ demuestre que $S$ es abeliano.

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Intenté resolverlo utilizando la propiedad conmutativa de $S$ . Pero no conseguí avanzar.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Solución parcial quizás alguien pueda ver cómo completar el Caso 2:

Configuración $y=x$ obtenemos $$x^2=x^{2n}$$ para todos $x$ .

Entonces $$x^2y^2=y^{2n}x^{2n}=y^2x^2$$ para todos $x,y \in S$ .

Caso 1: $n=2k$ es par.

Entonces $$xy=(y^{k})^2(x^k)^{2}=(x^k)^{2}(y^{k})^2=x^ny^n=yx$$

Caso 2: $n=2k+1$ es impar.

Entonces para todos $x,y \in S$ tenemos $$yxyx=(y^{k+1})^{2}(x^{k+1})^{2}=(x^{k+1})^{2}(y^{k+1})^{2}=xx^ny^ny=xyxy$$

Se atascó.

Answer 2

Si $xy=y^nx^n$ para cada $n\in\mathbb N$ entonces para $n=1$ tienes $xy=yx$ .